§ 3. Функции нескольких переменных.

Если каждой паре (x, y) D по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение z E, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных z = f(x, y).

(x, y) называются независимыми переменными (аргументами); z – зависимая переменная (функция),

D – область определения функции z, т. е. множество всех значений (x, y), при которых функция существует, имеет смысл.

E – область значений функции.

Уравнение z = f(x, y) описывает поверхность в пространстве, область D – фигура на плоскости.

Для функции z = f(x, y) можно составить три вида приращений:

1) частное приращение по аргументу x

2) частное приращение по аргументу y

3) полное приращение

Если существует конечный предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента при условии, когда последнее стремится к нулю, то этот предел называется частной производной по соответствующему аргументу и обозначается

Полным дифференциалом функции называется величина

где dx и dy – дифференциалы независимых переменных.

Градиент функции z(x, y):

Производная функции z(x,y) по направлению вектора :

равна проекции вектора grad z на направление вектора . В направлении градиента происходит быстрое возрастание функции в данной точке.

Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф(x,y,z)=0 в точке имеет вид:

Дивергенция вектора

Ротор вектора

Вторыми частными производными функции z=z(x,y) называются частные производные от ее частных производных.

(другие обозначения ). Смешанные производные и равны, если они непрерывны.

Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое условие: Если является точкой экстремума функции z=f(x, y), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю или не существуют.