4.3 Приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры.
а) Площадь
криволинейной трапеции АаbB,
ограниченной сверху графиком кривой y
= f
(x),
слева и справа – соответственно прямыми
х = а,
х = b,
снизу – осью Ох,
вычисляется по формуле
или
.
У
0 а b X
b) Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно кривыми y1 = f1 (x), y2 = f2 (x), слева и справа – прямыми х = а и x = b, определяется формулой
или
.
У
a
b
x
с) Площадь криволинейной трапеции, прилегающей к оси Оу, вычисляется по формуле
y
.
0
d
c
x
Если фигура расположена ниже оси OX, то
S
= -
y
а
в
x
y = f(x)
В более сложных случаях всю фигуру разбивают на части и площадь всей фигуры находят как сумму составляющих ее площадей.
Пример 7. Определить площадь фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = е, у = 0.
Решение.
Определяя у
из уравнения гиперболы ху
= 6, получим
.
Определим новые пределы интегрирования
a
= 1, b
= e.
Подставляя значения a,
b
и
(выражение
для у)
в формулу, находим:
.
6 5 4 3 2 1
У
1 2
e
Х
Вычисление объема тела вращения.
Объем тела,
полученного вращением вокруг оси Ох
криволинейной
трапеции, где АВ
– дуга кривой у
= f
(x),
вычисляется по формуле
.
Объем тела,
полученного вращением вокруг оси Оу
криволинейной трапеции, где СD
– дуга кривой
,
определяется по формуле
.
Пример 8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 = 2х, прямой х = 3 и осью Ох.
Решение.
В соответствии с условием задачи
определяем пределы интегрирования а
= 0, b
= 3. Находим
.
Пример 9.
Найти объем тела, полученного вращением
вокруг оси Оу
криволинейной трапецией, ограниченной
гиперболой
и прямыми
.
Решение. Из условия вытекает, что пределы интегрирования будут: c = - 2b, d =2b.
Выражение для х2, входящее в формулу, определяется из уравнения гиперболы:
,
.
Подставляя эти выражения в формулу, получаем
Упражнения.
4.5. Вычислить определенный интеграл:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
j)
.
4.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
a) y = x2; x = 1; x = 2.
b) y2 = 4x; x = 2.
c) x = y2; y = x2 + 1; 3x + 2y – 16 = 0; x = 0.
d) y = - x2 + 4x – 1; y = - x – 1.
e) y = (x + 1)3; y2 = x + 1.
f) y3 = x; x = 1; y = 8.
g) x = 0; x = 2; y = 2x; y = 2x – x2.
i) y = 2x – x2; y = - x.
4.7 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Х фигуры, ограниченной линиями:
a)
;
;
.
b)
;
;
.
c)
;
;
;
.
d)
;
;
;
;
.
e)
;
.
4.8 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Y фигуры, ограниченной линиями:
a)
;
;
.
b)
;
;
.
c)
;
;
.
d)
;
;
,
где
.
e)
;
;
;
.