3.3. Волна Лэмба
При наклонном падении волны на пластину соизмеримой с длиной волны, вследствие сложения падающей волны с многократно отраженными волнами внутри пластины, возникают резонансные явления, сопровождающиеся образованием стоячих волн (рис.3.14).
Рис.3.14. Распространение бегущих Cg и стоячих Cj волн в пластинах.
Взаимодействие стоячих и бегущих волн приводит к возникновению нормальных волн (волн Лэмба) с вертикальной поляризацией (рис.3.15).
Рис.3.15. Распространение и колебания частиц в нормальной симметричной (а) и ассиметричной (б) волнах.
Рассмотрим физику образования нормальных волн (рис.3.16).
Рис.3.16. Возникновение нормальных волн в жидком слое.
Пусть на жидкий
слой толщиной h под углом β падает плоская
гармоническая волна. Линия АД показывает
фронт падающей волны. В результате ее
преломления на границе, в слое возникает
волна с фронтом СД, распространяющаяся
под углом α и претерпевающая многократные
отражения в слое. При определенном
угле падения β волна, отраженная от
нижней поверхности совпадает по фазе
с прямой падающей волной. Угол, при
котором наблюдается явление резонанса
– совпадение по фазе падающей и отраженной
волн будет равен:
,
где n - целое число;
- длина волны в слое. Это соответствует
условию образования волн Лэмба.
Различные типы волн, существующие при различных значениях n, называют модами нормальных волн. Волны с нечетным n называют симметричными волнами расширения-сжатия (т.к. движение частиц в них симметрично относительно оси пластины (рис.3.15а). Волны с четным n называют асимметричными (изгибающими волнами (рис.3.15б), т.к. в них движение частиц асимметрично относительно центральной плоскости пластин. Моды симметричных волн обозначают S0, S1, S2… асимметричных α0, α1, α3… Нулевыми индексами отмечены моды, которые при увеличении толщины пластины переходят в поверхностные волны.
При распространении нормальных волн пользуются понятием фазовой (Ср) и групповой (Су) скоростей, которые связаны между собой соотношением:
(18)
Фазовая скорость определяет скорость распространения волнового фронта. Она позволяет вычислить частоту f ультразвуковых (УЗ) колебаний и необходимый угол падения. Найдем выражение фазовой скорости (рис. 3.17).
Рис.3.17. Соотношение между объемной С2, групповой Сд и фазовой Ср скоростями в пластине.
Используя выражение , получим
(19)
Из последнего
выражения следует, что фазовая скорость
зависит от частоты УЗ колебаний и толщины
слоя. При достижении условий, когда
h/λ2=n
(n=1,2,3
и т.д.), фазовая скорость стремится к
бесконечности. При h/λ2 → ∞ из выражения
следует, что фазовая скорость будет
равна скорости обычной объемной волны
С2.
Групповая скорость Сд характеризует скорость распространения энергии волнового фронта (импульса) и численно равна
(20)
Из выражения видно,
что Сд никогда не обращается в
бесконечность и при
стремится к нулю, в то время как фазовая
скорость Ср стремится к бесконечности
при h/λ2 > 10; Cp ≈ Сд.
Условия образования нормальных волн в твердой пластине усложняются из-за наличия в ней продольных и поперечных волн. При отражении эти волны частично трансформируются друг в друга, а фаза волны при отражении меняется на число, не кратное π.
На рис. 3.18 показаны дисперсионные кривые для пластины из стали (ν≈0,3).
Рис.3.18. Дисперсионные кривые для волн Лэмба в твердом теле:
Cℓ, Ct, Cs – скорости распространения соответственно продольных, поперечных и поверхностных волн;
а0, а1, а2 – асимметричные волны; S0, S1, S2 – симметричные волны.