1. Расчеты

1. Вычислить моменты инерции J₁ и J₂ по формуле (9). Найти среднее значе-ние момента инерции для каждого положения грузов.

2. Рассчитать разность моментов инерции (левая часть формулы (4)).

3. Рассчитать правую часть формулы (4), используя измеренные значения R₁, R₂ и известное значение m₁.

4. Сравнить результаты, полученные в п. 14 и п. 15

2. Защита работы

(ответы представить в письменном виде)

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Запи-шите формулу.

2. Дайте определение момента силы. Как определяется его направление?

3. Сформулируйте теорему Штейнера. Запишите формулу.

4. Какой вывод можно сделать из сравнения результатов, полученных в пунк-

тах 14 и 15?

48

Механика

Описания лабораторных работ

ПРОТОКОЛ

измерений к лабораторной работе №6

Выполнил(а)_____________________

Группа__________________

Масса грузов, закрепленных на спице

m1=_____________

Масса падающего груза

m= _____________

Высота падения груза

h= ______________

Диаметр большого шкива

d= ______________

Диаметр малого шкива

d= ______________

№

r,

R,

t1,

t2,

t3,

tср,

J,

2

Примечание

п/п

мм

см

с

с

с

с

⋅

кг м

1

Грузы

нахо-

дятся на сере-

дине спиц

2

среднее

3

Грузы

нахо-

дятся на кон-

цах спиц

4

среднее

Дата________ Подпись преподавателя___________________

49

Описания лабораторных работ					Механика
		Лабораторная работа № 7
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
	НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
Цель работы − проверить основной закон динамики вращательного дви-
жения, исследовать зависимость момента инерции от квадрата расстояния меж-
ду центром масс груза и осью вращения маятника.
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, набор грузов, секундо-
мер, штангенциркуль.
	Описание экспериментальной установки
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четы-
	m1		рех стержней, укрепленных на
			втулке с осью (рис. 1). На стержни
			надеваются одинаковые грузы в
R			виде цилиндров массой m1, кото-
			рые могут быть закреплены на раз-
m1	r1	m1	личных расстояниях от оси враще-
			ния. Втулка и два шкива различ-
	r		ных радиусов (r1 и r2) насажены на
	2		ось вращения маятника. На один из
			шкивов	маятника	наматывается
			тонкая нить, к свободному концу
T	m1		которой прикрепляется груз мас-
			сой m. Вся эта система может сво-
a	m		бодно вращаться вокруг горизон-
			тальной оси. Вращающий момент
mg			можно изменять, перематывая нить
			со шкива на шкив. Момент инер-
	x		ции системы изменяют, передвигая
	Рисунок 1		грузы m1 вдоль спиц.

Общие положения

Для тела, которое вращается относительно неподвижной оси, основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

Jε = M внеш ,

(1)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, ε – угловое ускоре-ние, М_внеш – проекция суммарного момента внешних сил на ось вращения.

Момент сил создается силой натяжения нити Т и силой трения F_тр. Сум-ма проекций моментов внешних сил М_внеш на ось вращения равна:

M _внеш = М − М_тр,

50

Механика Описания лабораторных работ

где М – момент силы натяжения нити, М_тр – момент силы трения. С учётом этого уравнение (1) примет вид:

M − M _тр = Jε.

Момент силы натяжения нити
M = T ⋅r ,	(2)

где T – сила натяжения нити; r – радиус шкива.

Силу натяжения нити Т определим из второго закона Ньютона. На груз массой m действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити, под дейст-вием которых он движется вниз с ускорением а (см. рис.1). В проекции на ось 0х это уравнение примет вид:

mg −T = ma ,

Отсюда T = m( g − a ) . (3)

В условиях данного эксперимента а<<g, поэтому можно записать:

T ≈ mg .

Тогда	M ≈ mgr .					(4)
Отсюда	ε =	1		(M − M тр) .		(5)
		J
С учётом (4) уравнение (5) имеет вид:
	ε =		1		(mgr − M тр ) .	(6)
			J

Если момент инерции системы J и момент силы трения M_тр остаются по-стоянными, то угловое ускорение ε будет линейно зависеть от момента M = mgr , т.е. график зависимости ε=f(M) должен представлять собой прямую. Тангенс угла наклона прямой равен 1 J , а точка пересечения с осью 0х даст

M_тр. Угловое ускорение ε можно найти, измерив высоту h и время t падения груза:

h =

at 2

.

2

2h

Отсюда:

a =

.

t 2

Линейное ускорение а связано с угловым ускорением ε соотношением

a = ε ⋅ r .

Тогда

ε =

2h

.

(7)

r ⋅t 2

С помощью маятника Обербека также можно исследовать зависимость момента инерции J от R – расстояния от центра масс грузов до оси вращения. Момент инерции системы:

51

Описания лабораторных работ Механика

J = J	0	+ 4m R2	,	(8)
		1
где J0 – момент инерции крестовины без грузов; m R 2				– момент инерции одно-
			1

го груза m₁, центр масс которого находится на расстоянии R от оси вращения. Формулу для вычисления момента инерции J получаем из основного

уравнения динамики вращательного движения (1):

J =		Мвнеш					.		(9)
				ε
Если момент силы трения на оси Мтр много меньше mgr, то этой величи-
ной можно пренебречь. Из (2) и (3) получим:
M = m(g − a)r .									(10)
Подставим (10) в уравнение (9), получим:
J = mr(g − a)								.	(11)
				ε
Угловое ε и линейное а ускорения заменим согласно соотношениям (7),
получим:
	2				2
J = mr			gt						(12)
						−1 .
				2h

Подготовка к работе

(ответы представить в письменном виде)

1. Какова цель работы?

2. Какая зависимость проверяется в упражнении 1? Нарисуйте схематический график этой зависимости.

3. Запишите формулы, по которым рассчитываются угловое ускорение и мо-мент силы. Поясните смысл обозначений.

4. Какая зависимость проверяется в упражнении 2? Нарисуйте схематический график этой зависимости.

5. Запишите формулу, по которой рассчитывается момент инерции системы. Поясните смысл обозначений.

Выполнение работы

Задание 1.

Исследование зависимости углового ускорения от момента внешних сил

Исследуемая зависимость ε = f (M ) получена в предположении, что а<<g.

Для выполнения этого условия необходимо нить намотать на шкив меньшего диаметра, а грузы на спицах разместить на наибольшем расстоянии R от оси.

1. Установить грузы m₁ на концах спиц.

2. Измерить диаметр шкива d.

52

Механика Описания лабораторных работ

3. Подвесить на нити платформу с грузом общей массой 100 г так, чтобы её нижняя поверхность находилась на нулевой отметке линейки. Три раза из-мерить время падения груза m до пола. Найти среднее значение времени.

4. Повторить измерения пункта 3 для пяти значений массы m груза, добавляя на платформу по одному грузу массой 50 г.

5. Измерить высоту h падения груза.

Задание 2.

Исследование зависимости момента инерции от квадрата расстояния между центром масс груза и осью вращения маятника

Исследуемая зависимость J = f ( R ² ) получена в предположении, что

М_тр<<М. Для выполнения этого условия выбираем больший диаметр d шкива и максимальную массу падающего груза (m=300г).

1. Записать массу падающего груза m.

2. Измерить диаметр d шкива.

3. Закрепить грузы m₁ в начале спиц.

4. Измерить расстояние R от оси вращения до центра масс груза m₁.

5. Подвесить груз m на нити так, чтобы его нижняя поверхность находилась на нулевом делении линейки. Три раза измерить время падения груза m до пола.

Найти среднее значение времени падения.

6. Передвигая грузы m₁ вдоль спиц на R=2 см, провести измерения для пяти разных положений груза согласно пп.4−5.

Оформление отчета 1. Расчеты

Задание 1

1. Вычислить момент силы М по формуле (4) для каждой массы.

2. Вычислить угловое ускорение ε по формуле (7), используя среднее значение времени падения.

3. Построить график зависимости ε = f (M ) .

4. Используя график, определить момент силы трения М_тр.

Задание 2

1. Вычислить по результатам каждого опыта момент инерции маятника по формуле (12), используя среднее значение времени.

2. Построить график зависимости J = f ( R ² ) .

3. Используя график, определить момент инерции J₀ крестовины маятника.

2. Защита работы (ответы представить в письменном виде)

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Запи-шите формулу.

2. Сформулируйте теорему Штейнера. Запишите формулу.

3. Сделайте вывод о том, соответствуют ли результаты эксперимента теорети-ческим зависимостям.

53

Описания лабораторных работ	Механика
ПРОТОКОЛ
измерений к лабораторной работе №7
Выполнил(а)_____________________	Группа__________________
Задание 1

Высота падения груза h=______________ Диаметр малого шкива d=__________

№

r,

m,

t

,

t

,

t

,

t

ср

,

ε

M,

Примечание

п/п

мм

г

1

2

3

,

с

с

с

с

рад/с

⋅

Н м

1

Нить нама-

тывается на

малый

2

шкив

3

4

5

Задание 2

Высота падения груза

h=____________

Масса падающего груза m= __________

Диаметр большого шкива d=________

№

r,

R,

t1,

t2,

t3,

tср,

R2,

J,

Примечание

п/п

мм

см

с

с

с

с

см2

⋅

2

кг м

1

Нить нама-

тывается на

большой

2

шкив

3

4

5

Дата________ Подпись преподавателя___________________

54

Механика						Описания лабораторных работ
					Лабораторная работа № 8
				УПРУГИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ШАРОВ
	Цель работы – определить скорость соударяющихся шаров, время соуда-
рения, среднюю силу соударения.
	Приборы и принадлежности: экспериментальная установка для изучения
упругого центрального удара шаров.
					Описание экспериментальной установки
	Принципиальная схема дана на рис. 1. Установка состоит из двух стальных
		P1				шаров 1 и 2, подвешенных на прово-
					R1	дящих нитях, конденсатора С1, со-
		Г				противления R1, источника напря-
2	K1		K3		C1	жения, электромагнитов L1 и L2 ,
						баллистического	гальванометра Г,
1					+	ключа K3, переключателей К1 и К2.
	L1			L2		Принцип работы установки со-
		1	2		_
						стоит в следующем. При замыкании
		K2
						переключателя К1 в положение 1
		1	2			происходит зарядка конденсатора С1
						(ключ К3 замкнут). Переключая К1 в
						положение 2, конденсатор можно
			~			полностью разрядить через гальва-
						нометр Г.
						Для того, чтобы разрядить
						конденсатор С1 при разомкнутом
			Рисунок 1			ключе К3 необходимо шары 1 и 2
происходит во время удара.						привести в соприкосновение, что и

Параметры установки: R = 220 Ом; l = 0,83 м; С = 0,5 мкФ; U = 100 В.

Общие положения

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором полная механи-ческая энергия тел сохраняется. Удар называется центральным, если шары до удара движутся по прямой, проходящей через их центры.

Задание 1. Определение времени соударения шаров

При ударе шары замыкают электрическую цепь, составленную из заря-женного конденсатора, сопротивления и гальванометра. Время, в течение кото-рого шары соударяются, будет равно времени разрядки конденсатора. При раз-рядке заряд на конденсаторе убывает по закону:

q = q	e− t RC ,	(1)
0

55

Описания лабораторных работ Механика

где q ₀ – заряд конденсатора в начальный момент времени; q – заряд, оставший-ся на конденсаторе через время t; С – емкость конденсатора; R – сопротивление цепи.

Прологарифмировав соотношение (1), можно найти время соударения шаров:

t = RC ln	q0	.	(2)
	q

Для измерения величины заряда используют баллистический гальвано-метр, отклонение указателя которого пропорционально величине заряда, про-шедшего через него. Тогда можно записать следующие соотношения:

q₀ = β n₀ , q = β(n₀ − n₁ ), (3)

где n₀ – показание гальванометра, соответствующее заряду, протекающему при полной разрядке конденсатора; n₁ – показание гальванометра, соответствующее заряду, протекающему через гальванометр за время соударения шаров; β – ко-эффициент пропорциональности.

Подставив (3) в (2), получим:

t = RC ln		n0	(4)
	n	− n
0		1

Задание 2. Определение скорости шаров при соударении

	C
	.
	α
	l
	A.	B
		h
m1	m2
	Рисунок 2

Отсюда:

Отведем шарик массой m₂ от положения равновесия на угол α (рис. 2). При этом он поднимется на высоту h и приобретет по-тенциальную энергию

Wп = m2 gh .

(5)

В момент удара потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую энергию

	m	v2
W =	2	2	.	(6)
к	2

По закону сохранения механической энер-гии

	m	v2
m2 gh =	2	2	.	(7)
	2

v2 = 2gh

(8)

И з АВС (см. рис.2) следует, что

cos α = ^{l −}_l ^h .

56

Механика	Описания лабораторных работ
Тогда:
h = l(1 − cos α).	(9)
Подставим (9) в соотношение (8), получим:
v2 = 2gl(1 − cosα).	(10)

Задание 3. Определение средней силы соударения шаров

При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Обозначим массу первого шарика m₁, массу второго − m₂. Первый шарик до удара покоился, т.е. v1=0. Тогда закон со-хранения импульса и закон сохранения механической энергии запишутся в виде:

m2 v2 = m1u1 + m2u2

(11)

m	v2		m u2		m u2
2	2	=	1 1	+	2 2	,	(12)
2			2		2

где v2 – скорость второго шарика до удара; u₁ и u₂ – скорости шариков после удара.

Решив систему уравнений (11) – (12), можно найти скорости шариков после удара:

u1	=		2m2 v2		(13)
		m1 + m2
u2	=		(m2 − m1 )v2		(14)
			m1 + m2

Если массы шариков одинаковы, то из (13) следует, что

u₁ = v₂ ,

а из (14) следует, что

u₂ = 0

Это означает, что шары обменялись скоростями, т.е . второй шарик после удара останавливается, а первый приобретает скорость, которую имел второй до удара.

Для нахождения силы F соударения шаров используем второй закон Ньютона в следующем виде:

	F ⋅ t = m2 vr,			(15)
где	t = t – время соударения шариков;
	v – изменение скорости второго шарика;			v = u2 − v2 .
	Так как u2 = 0 , то
	F =	m2 v2	.	(16)
		t

Массу шарика рассчитаем по его плотности и известному радиусу:

57

Описания лабораторных работ					Механика
m2	=	4	ρπr3	,	(17)
		3

где r=0,01 м – радиус шарика, ρ=7700 кг/м³ – плотность материала (сталь).

Подготовка к работе

(ответы представить в письменном виде)

1. В чем состоит цель работы?

2. Какие физические величины измеряются непосредственно (прямые измерения)?

3. Запишите формулу, по которой рассчитывается время соударения шаров. Поясните смысл обозначений, входящих в формулу.

4. Запишите формулу, по которой рассчитывается скорость шаров при ударе. Поясните смысл обозначений, входящих в формулу.

5. Запишите формулу, по которой рассчитывается средняя сила удара шаров? Поясните смысл обозначений, входящих в формулу.

Выполнение работы

1. Записать в протокол параметры установки.

2. Включить установку и гальванометр в сеть. Замкнуть ключ К3.

3. Зарядить конденсатор. Для этого перевести переключатель К1 в положение 1.

4. Полностью разрядить конденсатор. Для этого перевести переключатель К1 в положение 2. Записать показания гальванометра n₀.

5. Повторить измерения согласно пп. 3–4 еще два раза.

6. Зафиксировать магнит L1 на отметке «5°» (угол отклонения шарика m₂ 5°). Магнит L2 установить в такое положение, чтобы после соударения шарик m₁ притянулся к нему и не ударялся о шарик m₂ повторно.

7. Перевести ключ К2 в положение 1 и подвести шар к магниту L1.

8. Зарядить конденсатор, замкнув ключ К3 и установив переключатель К1 в по-ложение 1.

9. Разомкнуть ключ К3, а ключ К1 перевести в положение 2.

10. Ключ К2 перевести в положение 2. Записать показания гальванометра n₁. Повторить опыт три раза.

11. Выполнить измерения согласно пп. 6−10, отклоняя шарик m₂ на угол 10°, а затем на 15°.

Оформление отчета