20. Рента.
Как уже было сказано выше, под рентой понимается денежный поток с равными интервалами между поступлениями денежных средств. По количеству поступлений различают:
1) конечную ренту (число поступлений ограничено);
2) вечную ренту (число поступлений велико или неограниченно). Конечная рента с одним платежом в год называется конечной годовой рентой, с несколькими платежами в год – конечной общей рентой.
Конечная годовая рента представляет собой простую ренту с одним платежом в год при длительности в n лет и годовой процентной ставке г. Наращение осуществляется по формуле сложных процентов. При этом текущая (приведенная) стоимость определяется как сумма платежей, дисконтированных к настоящему моменту времени, и может рассматриваться как убывающая геометрическая профессия:
PV = FV1 / (1 + r)1 + FV2 / (1 + r)2 + ... + FVn/ (1 + r)n =
= FVn Ʃ[(1 + r)-1 + ... + (1 + r)-n].
В квадратных скобках показана сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом (1 + r)-1. По математическим законам для геометрической прогрессии, выражение в квадратных скобках будет равно:
Ʃ[(1 + г)-1 +...+ (1 + к)-n] = (1 - (1 + r)-n ) / r.
Тогда вычисление текущей (приведенной) стоимости можно представить следующим образом:
PV = FV1 / (1 + r)1 + FV2 / (1 + r)2 + ... + FVn / (1 + r)n = FVn Ʃ[(1 + r)-1 + ... + (1 + r)-n] = FVn (1 - (1 + r)-n) / r
Конечная общая рента представляет собой сложную ренту с поступлениями и начислениями процентов несколько раз в год. Пусть платежи поступают q раз в год через равные интервалы, а общая сумма годовых платежей составляет FV. Таким образом, сумма единичного платежа будет равна FV/q. Проценты начис¬ляются m раз в год через равные интервалы времени по ставке r сложных процентов на каждый более ранний платеж с учетом момента его поступления. Так как r-й платеж отстоит от конца срока ренты на (n — k / q) лет, то проценты будут начислены на него [(n — k/q) m] раз по ставке, равной r/m. Величина такого платежа может быть рассчитана по следующей формуле:
Sk = (FV / q) • (1 + r/m)(n - k/q)m.
Вечная годовая рента представляет собой ренту, последовательность поступлений в которой неограниченна (предполагается, что платежи будут поступать неограниченно долго). Величина, полученная в результате наращения такой ренты, также будет бесконечной. Приведенная стоимость вечной годовой ренты представляет собой бесконечный поток платежей, дисконтированных к настоящему моменту времени, и определяется двумя способами.
В первом случае текущая (приведенная) стоимость бесконечных платежей вычисляется по следующей формуле:
PV = FV1 / (1 + r)1 + FV2 / (1+ r)2 + ... + FVn / (1+ r) n + ...= FVn/r.
Во втором случае текущая (приведенная) стоимость беско¬нечных платежей вычисляется по формуле конечной годовой ренты:
PV = FVn [1 - (1+ r)-n] / r.
21. Аннуитет.
Денежный поток с равными интервалами и равными поступлениями денежных средств называется финансовой рентой, или аннуитетом. Различают срочные и бессрочные аннуитеты. По моменту поступления денежных средств в выбранном интервале времени срочные и бессрочные аннуитеты могут быть как потоками пренумерандо, так и потоками постнумерандо. При этом каждый из срочных аннуитетов может рассчитываться как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.
Под срочным аннуитетом понимается денежный поток с поступлениями в течение ограниченного времени (срочный денежный поток) с равными по величине поступлениями денежных средств через равные промежутки времени. По моменту поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.
Срочный аннуитет постнумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.
Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:
FVpst = PV*[(1+r)n-1]/r
Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:
PVpst = FV*[(1-(1+r)-n]/r
Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:
FVpre=FVpst(l+ r) = PV [(1 +r)n- 1] (1 + r)/r.
Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:
PVpre = PVpst(l + r) = FV [1 - (1+r)-n ] (1 + r) / r.
Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.
В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п. Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).
При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице.
По моменту поступления денежных средств в выбранном временном интервале |
Оценка бессрочного аннуитета |
|
по схеме наращения |
по схеме дисконтирования |
|
1) потоки с поступлениями в начале выбранного интервала времени — пренумерандо; |
Не имеет решения |
Бессрочный аннуитет пренумерандо |
2) потоки с поступлениями в конце выбранного интервала времени — постнумерандо. |
Не имеет решения |
Бессрочный аннуитет постнумерандо |
Формула оценки бессрочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:
PVpst=A/r,
где А – одно денежное поступление за выбранный временной интервал.
Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей. Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная. Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.
Формула оценки бессрочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:
PVpre = PVprs + A
где PVpre – поток пренумерандо;
PVpre – поток постнумерандо;
А – величина первого платежа.
Как следует из данной формулы, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо превышает приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.