3.3. Дисперсионный анализ

При оценке результатов эксперимента, когда на показатели качества электронных средств влияют качественные факторы (тип технологической установки или линии, оператор, время изготовления, партия сырья и др.), широкое применение нашел дисперсионный анализ (ДА).

Основу ДА составляет положение о том, что значимость некоторого фактора X характеризуется его вкладом в дисперсию показателя качества Y изделия. ДА заключается в разложении общей дисперсии показателя качества Y , полученной при варьировании факторов x₁, x₂, …, x_k на N уровнях, на составляющие, зависящие от:

• случайных причин;

• каждого из факторов;

• взаимодействия факторов,

и оценки статистической значимости дисперсий этих составляющих с учетом ошибки эксперимента.

ДА базируется на следующих допущениях:

1) показатель качества изделия Y, для которого требуется определить влияние независимых факторов x₁, x₂, …, x_k, представляет собой распределенную по нормальному закону случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией ;

2) дисперсия единичного наблюдения, обусловленная случайными ошибками, постоянна во всех опытах и не зависит от факторов x₁, x₂, …, x_k, т.е. равны между собой, а их выборочные оценки однородны, что является условием воспроизводимости эксперимента.

Общая постановка и решение задачи ДА

Требуется оценить влияние фактора x на фоне случайных причин, когда дисперсия воспроизводимости эксперимента известна. При варьировании фактора x на N качественных уровнях получим ряд значений показателя качества y₁, y₂, …, y_N, рассеяние которых характеризуется выборочной дисперсией . Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений связан только со случайными причинами и не зависит от влияния фактора x. Если же отличие значимо, то разброс наблюдений вызван не только случайными причинами, но и влиянием фактора x.

Когда дисперсия воспроизводимости неизвестна, то проводится n дублирующих опытов при каждом из возможных уровней фактора x. После этого находится оценка генеральной дисперсии воспроизводимости .

Различают однофакторный, двухфакторный и многофакторный ДА. Рассмотрим подробно сущность ДА при действии на показатель качества изделия одного фактора.

Однофакторный ДА

Результаты эксперимента представлены в виде табл. 10.

Таблица 10

Матрица однофакторного ДА

Номер q-го уровня фактора х	Дублирующие (повторные) опыты (j=1, 2, …, n)
	1	2	…	j	…	n
1	y11	y12		y1j		y1n
2	y21	y22		y2j		y2n
…
q	yq1	yq2		yqj		yqn
…
N	yN1	yN2		yNj		yNn

Из данных таблицы 10 находим:

1) средние арифметические из n повторных опытов для каждого q-го уровня фактора х

2) общее среднеарифметическое всех наблюдений (по всем N уровням при их повторении n раз)

В соответствии с сущностью ДА разложим сумму квадратов отклонений наблюдений от общего среднего арифметического на две составляющие суммы, одна из которых характеризует влияние фактора случайности, а вторая – фактора x:

как сумма отклонений q-ой серии повторных опытов от среднего той же серии.

В выражении для U:

– сумма квадратов отклонений внутри серии повторных опытов. Характеризует действие фактора случайности;

– сумма квадратов отклонений между сериями повторных опытов. Характеризует действие фактора х.

Далее вычисляются:

• несмещенная общая оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента по всем наблюдениям:

с числом степеней свободы ;

• выборочная дисперсия внутри серий с числом степеней свободы ;

• выборочная дисперсия между сериями с числом степеней свободы .

Проверка значимости влияния фактора х на показатель качества y производится с помощью критерия Фишера:

• вычисляется ;

• находится ;

• сравнивается F_рас и F_таб. Если F_рас>F_таб, то с вероятностью влияние фактора х считается значимым.

Пример. В результате семикратного измерения удельной емкости образцов анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов с использованием экспресс – способа (способ измерения 1) и на измерительной установке (способ измерения 2) получены следующие значения (табл. 11).

Таблица 11

Отклонение удельной емкости образцов анодной алюминиевой фольги

Способ измерения	Удельная емкость образцов (y), μФ/дм2
	1	2	3	4	5	6	7
1	9,12	9,30	8,20	10,50	9,80	8,50	10,20
2	8,34	8,58	8,18	8,42	8,66	8,26	8,50

Считая, что образцы фольги принадлежат одному рулону, заформованному на одной установке при постоянных технологических режимах, требуется оценить влияние способов на результаты измерения.

q=1, 2; N=2; j=1, 2, …, 7; n=7.

Вычисляем среднее арифметическое и общее среднее арифметическое :

Находим суммы квадратов:

Вычислим дисперсии:

Тогда:

Так как F_рас>F_таб, то с вероятностью 0,95 влияние способа измерения признается значимым.

При двухфакторном ДА оценивается влияние на показатель качества y не только каждого из факторов x₁ и x₂, но и их взаимодействия x₁ x₂. Математический аппарат двухфакторного и многофакторного ДА рассмотрен в [4].