4.3.2. Полный факторный эксперимент (пэф) 2k

План эксперимента определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, т.е. условия всех опытов, которые необходимо выполнить.

Конкретный тип плана активного эксперимента определяется порядком степени полинома (21).

Часто экспериментатору достаточно бывает получить ММ ТП в виде полинома 1 порядка (степень факторов x_i=1):

Из теории моделирования известно, что число уровней факторов при проведении эксперимента должно быть на единицу больше порядка полинома.

Для получения модели (22) достаточно каждый из факторов фиксировать на двух различных уровнях. Обозначим эти уровни через и , которые взяты относительно начального значения i-го фактора x_i0. В качестве x_i0 следует брать середину исследуемого диапазона значений i-го фактора. Рекомендуется изменение параметра производить в пределах 10-30% от начального значения.

В теории планирования эксперимента (с целью упрощения записи и расчетов) эти уровни кодируют:

Значит уровни +1 и -1 представляют собой границы исследуемой области.

ПФЭ 2^k – это план эксперимента, при котором осуществляются все возможные комбинации 2-х уровней k факторов. Запись: ПФЭ 2^k. Она означает, что каждый фактор фиксируется при проведении опытов на двух уровнях (+1, -1), а число исследуемых факторов (т.е. влияющих на у) равно k.

На рис.5 приведен план ПФЭ 2¹ (k=1) в геометрической форме.

Здесь • - опыт, в котором осуществляется измерение у при определенных значениях x_i

. Рис.5. План ПФЭ 2¹

План ПФЭ 2² (k=2) приведен на рис.6.

Рис.6. План ПФЭ 2²

План ПФЭ 2³ (k=3) приведен на рис.7.

Рис.7. План ПФЭ 2³

Из рис.5 - 7 видно, что в ПФЭ 2^k общее число различных опытов N равно 2^k.

N= 2^k; k=1, N=2; k=2, N=4; k=3, N=8.

Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка в которой определяет условия проведения q-го опыта (q=1 ,2,..., N), а каждый столбец х_i, значения i-ой переменной в разных опытах, т.е. в строке матрицы записываются уровни факторов, соответствующие данному опыту.

В табл.12 приведена матрица планирования ПФЭ 2³, где коды -1 и +1 при независимых факторах соответствуют их нижнему и верхнему уровням, а число опытов равно 8. В последнем столбце таблицы приведены значения показателя качества y.

Таблица 12

Матрица планирования плана ПФЭ 2³

№ опыта	x1	x2	x3	y
1	-1	-1	-1	y1
2	+1	-1	-1	y2
3	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	-1	y4
5	-1	-1	+1	y5
6	+1	-1	+1	y6
7	-1	+1	+1	y7
8	+1	+1	+1	y8

В табл.12 символ -1 соответствует нижнему уровню переменной, а символ +1 – верхнему уровню. Посередине между верхним и нижним уровнями размещен начальный (средний) уровень: 0. Это – кодированная шкала переменных, получаемая путем преобразования

где штрих означает, что переменная имеет определенную размерность;

- текущее значение переменной;

- среднее значение переменной;

- интервал изменения переменной, ;

при

при

при

Точка с координатами x₁=0, x₂=0,…, x_k=0 называется центром плана эксперимента.

Порядок построения табл.12 прост: х₁ – меняет свое значение с -1 на +1 через каждый опыт; х₂ – через 2 опыта; х₃ – через 4 опыта.

В общем случае (при любом k) для построения матрицы планирования используется следующее правило:

1) в первой строке матрицы планирования все переменные устанавливаются на значении -1;

2) фактор х₁ меняет свое значение с -1 на +1 или с +1 на -1 после каждого опыта;

3) частота смены знака для последующей по номеру k переменной вдвое меньше, чем для предыдущей.

При выполнении эксперимента порядок проведения опытов может быть произвольный (рандомизированный).

План ПФЭ 2^k обладает следующими свойствами:

4. Рототабельность – свойство с одинаковой точностью определения у на равных расстояниях от центра независимо от направления по x_i,

где i и j номера столбцов при независимых переменных x_i в матрице планирования; q=1, 2,…, N.

Первое свойство – ортогональность (сумма почленных произведений элементов любых двух столбцов = 0). Второе свойство –симметричность (алгебраическая сумма элементов каждого столбца = 0). Третье свойство – нормировка (алгебраическая сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов).

Данные свойства ПФЭ 2^k позволяют оценить независимо друг от друга коэффициенты модели (22) и упростить процедуру вычисления их численных значений.

Если некоторый q-й опыт в матрице планирования проводится несколько раз, то в качестве y_q берется среднее значение :

где n – число повторных опытов q-го опыта.

Проведение эксперимента

Заключается в реализации матрицы планирования. Если, например, имеем матрицу ПФЭ 2³ (табл.12),то проводится 8 опытов при значениях x₁, x₂, x₃ равных -1 или +1 и контролируется показатель качества y.

Проверка воспроизводимости эксперимента

Осуществляется с помощью G критерия с целью проверки гипотезы о равноточности измерений.

Для этого:

1. Для каждой из М дублированных строк матрицы планирования по результатам n параллельных опытов определяется:

• среднее значение показателя качества y

• построчная дисперсия

2. Выбирается наибольшая из построчных дисперсий .

3. Вычисляется сумма квадратов построчных дисперсий

4. Определяется расчетное значение G – критерия

5. Определяется табличное значение G_табл для выбранного уровня значимости α, числа дублированных строк матрицы М и числа степеней свободы ν=n-1

6. Сравниваются G_рас и G_табл:

если G_рас < G_табл ,то измерения равноточны (эксперимент воспроизводим) и величину можно считать оценкой генеральной дисперсии воспроизводности ;

при G_рас ≥ G_табл эксперимент невоспроизводим.

Причина: 1) сильное влияние неучтенных факторов;

2) низкая точность измерения.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ

После реализации плана ПФЭ типа 2^k и проверки воспроизводимости эксперимента коэффициенты b₀, b₁, b₂,..., b_i, ...,b_k модели вычисляются по формулам:

В выражении (24) величина x_iq равна -1 или +1 в соответствии с матрицей планирования для q-го опыта по i-му фактору, а y_q в (23) и (24) – экспериментально полученное значение y в q-ом опыте. При повторении q-го опыта n раз вместо y_q берется .

С физической точки зрения значение коэффициента b₀ характеризует среднее значение показателя y по всем опытам, а коэффициента b_i – эффект воздействия фактора x_i на y.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПФЭ 2²

№ опыта	х1	х2	у
1	-1	-1	7
2	+1	-1	5
3	-1	+1	10
4	+1	+1	6

Тогда модель имеет вид:

Для вычисления коэффициента b_i необходимо перемножить значения -1 или +1 столбца x_i на значения y_q для всех q опытов, просуммировать их и разделить на общее число опытов в плане ПФЭ 2^k.

Для вычисления b₁ используется столбец с x₁, b₂ - x₂ и т.д.

ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ

Проверяется отличие коэффициента ММ от нуля с учетом «шума» эксперимента.

Оценка значимости коэффициентов осуществляется по t-критерию Стьюдента.

1. Вычисляется расчетное значение t_i для каждого из коэффициентов

где N=2^k;

– дисперсия воспроизводимости из М дублированных строк матрицы планирования.

В некоторых случаях дублирование опытов осуществляется только для одной из q-строк матрицы планирования или в центре плана эксперимента (x₁=0, x₂=0,..., x_k=0). В этом случае находится как построчная дисперсия:

где y_qj – результат j-го опыта из n параллельных опытов;

– среднее значение по n параллельным опытам;

n – число параллельных опытов для q-ой строки матрицы планирования или в центре плана эксперимента.

2. Находится табличное значение

при М дублированных строках матрицы;

при одной дублированной строке матрицы.

3. Сравниваются t_рас и t_таб

Если t_рас > t_таб, то с вероятностью P =1-α коэффициент, для которого вычислено t_рас, считается статистически значимым и он используется при составлении модели.

Если t_рас ≤ t_таб, то соответствующие коэффициенты признаются незначимыми и не используются при составлении ММ (приравниваются к нулю).

Например: Если в ММ y=15-2x₁+3,5x₂-0,1x₃+1,2x₄+0,05x₅ коэффициенты b₃=-0,1 и b₅=0,05 оказались незначимыми, то ММ запишется в виде: y=15-2x₁+3,5x₂+1,2x₄.

Причины незначимости коэффициентов:

1) фактор х_i не влияет на y;

2) интервал варьирования i-переменной ( ) слишком мал;

3) велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

После проверки значимости коэффициентов составляется ММ в виде уравнения регрессии, содержащего составляющие только со значимыми коэффициентами.

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Осуществляется по F-критерию Фишера.

1. Определяется остаточная дисперсия , характеризующая рассеяние экспериментальных данных относительно результатов, полученных по найденной ММ

где y_qмод – величина показателя качества для q-го опыта. Рассчитывается при подстановке в полученную модель вычисленных значений и значений для данного опыта;

y_q – экспериментально полученное значение у в q-ом опыте;

m – общее число значимых коэффициентов модели, включая и коэффициент b₀ .

2. Рассчитывается расчетное значение F_рас

где - дисперсия воспроизводимости эксперимента.

3. Находится:

при М дублированных строках матрицы;

при одной дублированной строке матрицы.

4. Сравниваются F_рас и F_таб:

если F_рас<F_таб, то с вероятностью P=1-α ММ считается адекватной;

при F_рас≥F_таб – неадекватной.

При неадекватной модели необходимо:

1) дополнить описание ММ составляющими, характеризующими взаимодействие факторов;

2) переходить к квадратному уравнению;

3) переходить к более сложному уравнению.

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ТП ПО ПОЛУЧЕННОЙ МОДЕЛИ

Заключается в использовании физического смысла коэффициента b_i и его знака.

1. Абсолютная величина коэффициента b_i характеризует степень влияния i-го фактора на показатель качества y. Чем больше абсолютная величина b_i, тем большее влияние оказывает i-й фактор на y.

2. Знак коэффициента характеризует направление изменения y при изменении i-го фактора. Если знак "+", то изменение значений x_i и y происходит в одном направлении, если знак "-", то изменение значений x_i и y происходит в противоположном направлении.

ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С УЧЕТОМ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ФАКТОРОВ

При проведении ПФЭ 2^k возможно получение ММ с учетом взаимодействий двух факторов, причем эта возможность реализуется без увеличения числа опытов.

Эта модель имеет вид:

Для вычисления коэффициентов b_ij необходимо иметь матрицу планирования, в которой учтены парные взаимодействия. Эта матрица представлена в табл.13.

Таблица 13

Матрица планирования ПФЭ 2³ с парными взаимодействиями

№ опыта	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	y
1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	y1
2	+1	-1	-1	-1	-1	+1	y2
3	-1	+1	-1	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	-1	+1	-1	-1	y4
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1	y5
6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	y6
7	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

Коэффициенты b_ij вычисляются по формуле

Отличие формулы (27) от (24) заключается в том, что здесь вместо значений x_iq берутся взаимодействия x_iq x_jq. Например из табл.13 имеем:

Матрица планирования, приведенная в табл.13, обладает свойствами ортогональности, симметричности, нормировки и рототабельности.

Статистический анализ модели (26) ничем не отличается от статистического анализа модели (22), кроме того, что здесь надо учитывать коэффициенты b_ij и значения x_iq x_jq.

При проведении ПФЭ 2^k возможно получение моделей с учетом 3-х, 4-х и т.д. взаимодействий. Учет по аналогии с вышесказанным.

Пример. Построить математическую модель вида:

В табл.14 приведена матрица планирования ПФЭ 2⁴ с парными взаимодействиями 4 факторов и экспериментальные значения показателя качества у. Опыты 17-20 выполнены в центре плана эксперимента для вычисления .

Таблица 14

№ опыта	x1	x2	x3	x4	x1x2	x1x3	x1x4	x2x3	x2x4	x3x4	y
1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	0,87
2	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	0,84
3	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	0,98
4	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	0,9
5	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	1
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	0,97
7	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	1,09
8	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	1,07
9	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	0,87
10	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	0,83
11	-1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	0,93
12	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	0,78
13	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	0,87
14	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	0,75
15	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	1,07
16	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	1
17	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,95
18	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,92
19	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,9
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,91

Вычисление коэффициентов модели

Коэффициенты модели вычисляются по формулам (23), (24) и (27). Расчеты производились с точностью до 3 знаков после запятой:

b₀=(0,87+0,84+0,98+0,9+1+0,97+1,09+1,07+0,87+0,83+0,93+0,78+0,87+0,75+ 1,07+1)/16=0,927;

b₁=(-0,87+0,84-0,98+0,9-1+0,97-1,09+1,07-0,87+0,83-0,93+0,78-0,87 +0,75 -1,07+1)/16=0,034;

b₂=(-0,87-0,84+0,98+0,9-1-0,97+1,09+1,07-0,87-0,83+0,93+0,78-0,87-0,75+ 1,07+1)/16=0,051;

b₃=(-0,87-0,84-0,98-0,9+1+0,97+1,09+1,07-0,87-0,83-0,93-0,78+0,87 +0,75+ 1,07+1)/16=0,051;

b₄=(-0,87-0,84-0,98-0,9-1-0,97-1,09-1,07+0,87+0,83+0,93+0,78+0,87+ 0,75+ 1,07+1)/16 = -0,039

b₁₂=(0,87-0,84-0,98+0,9+1-0,97-1,09+1,07+0,87-0,83-0,93+0,78+0,87-0,75-1,07+1)/16=-0,006

b₁₃=(0,87-0,84+0,98-0,9-1+0,97-1,09+1,07+0,87-0,83+0,93-0,78-0,87+0,75- 1,07+1)/16=0,004;

b₁₄=(0,87-0,84+0,98-0,9+1-0,97+1,09-1,07-0,87+0,83-0,93+0,78-0,87+0,75-1,07+1)/16=-0,014;

b₂₃=(0,87+0,84-0,98-0,9-1-0,97+1,09+1,07+0,87+0,83-0,93-0,78-0,87-0,75+ 1,07+1)/16=0,029;

b₂₄=(0,87+0,84-0,98-0,9+1+0,97-1,09-1,07-0,87-0,83+0,93+0,78-0,87-0,75+ 1,07+1)/16=0,006;

b₃₄=(0,87+0,84+0,98+0,9-1-0,97-1,09-1,07-0,87-0,83-0,93-0,78+0,87+0,75+ 1,07+1)/16=-0,016.

Проверка значимости коэффициентов модели

Проверка значимости коэффициентов модели осуществляется по t-критерию Стьюдента. Для этого предварительно вычислим дисперсию воспроизводимости :

где – значения показателя качества в центре плана эксперимента;

– среднее значение показателя качества из n опытов;

n – число опытов в центре плана эксперимента (n=4).

Имеем: =(0,95+0,92+0,9+0,91)/4=0,92;

=[(0,95-0,92)²+(0,92-0,92)²+(0,9-0,92)²+(0,91-0,92)²]/3=0,00047.

1. Вычислим t_расч каждого коэффициента модели по формуле:

Для коэффициента b₀ имеем . Аналогичным образом найдем t_расч для коэффициентов b₁,b₂,…,b₃₄. Получим t₁=6,1; t₂=9,4; t₃=9,4; t₄=7,2; t₁₂=1,1; t₁₃=0,7; t₁₄=2,6; t₂₃=5,4; t₂₄=1,1; t₃₄=2,9.

2. Находим табличное значение t_табл=f(α; υ=n-1). При α=0,1 и n=4: t_табл=2,35.

3. Сравниваем t_расч и t_табл. С вероятностью 0,9 следует, что коэффициенты b₀, b₁, b₂, b₃, b₄, b₁₄, b₂₃, b₃₄ – значимые, т.к. для них выполняется условие t_расч>t_табл.

Исключив незначимые коэффициенты, получим математическую модель в виде:

y=0,927-0,034x₁+0,051x₂+0,051x₃-0,039x₄-0,014x₁x₄+0,029x₂x₃-0,016x₃x₄ . (28)

Проверка адекватности полученной модели

Осуществляется по F-критерию Фишера.

1. Определим остаточную дисперсию по формуле (25), где N=16; m=8. Предварительно вычислим значения у_мод по выражению (28), подставив вместо х₁, х₂,…, х₃ х₄ значения -1 или +1 из табл.14. Для у_1мод имеем:

y_1мод=0,927-0,034(-1)+0,051(-1)+0,051(-1)-0,039(-1)-0,014(+1) +0,029(+1)- 0,016(+1)=0.897

Аналогичным образом получим: у_2мод=0,864; у_3мод=0,944; у_4мод=0,884; у_5мод=0,969; у_6мод=0,949; у_7мод=1,129; у_8мод=1,084; у_9мод=0,869; у_10мод=0,779; у_11мод=0,939; у_12мод=0,824; у_13мод=0,874; у_14мод=0,799; у_15мод=1,059; у_16мод=0,959.

Тогда =[(0,897-0,87)²+(0,864-0,84)²+(0,944-0,98)²+(0,884-0,9)²+(0,969-1)²+(0,949-0,97)²+(1,129-1,09)²+(1,084-1,07)²+(0,869-0,87)² +(0,779-0,83)²+(0,939-0,93)²+(0,824-0,76)²+(0,874-0,87)²+(0,799-0,75)²+(1,059-1,07)²+(0,959-1)²]/8=0,00298.

2. Вычислим .

3. Находим

4. Сравним F_расч и F_табл. Так как 6,34<8,84, то с вероятностью 0,95 математическая модель (28) считается адекватной экспериментальным данным.

Таким образом, искомая математическая модель имеет вид выражения (28).