4.3.4. Математические модели второго порядка
Требуется получить ММ второго порядка вида
Из теории интерполяции следует, что для нахождения коэффициентов модели число уровней каждой из независимых переменных в эксперименте должно быть на единицу больше полинома. Исходя из данного положения для получения модели (29) требуется число уровней факторов xi≥3.
Применение планов ПФЭ 3k не рационально, поскольку это планирование характеризуется резким увеличением числа опытов в эксперименте.
Сократить число опытов можно, используя так называемые композиционные планы (КП), ядром которых является план ПФЭ 2k .
Преимущество этих планов состоит в том, что если гипотеза о линейности ММ не подтвердилась, то нет необходимости выполнять все эксперименты заново для получения модели более высокого порядка. В этом случае к проведенному эксперименту ПФЭ достаточно добавить некоторое число дополнительных опытов для получения плана эксперимента 2 порядка.
Получение композиционных планов второго порядка в случае неадекватности линейной модели производится в следующей последовательности:
1) проводится план ПФЭ 2k;
2)
проводятся 2k
опытов в так называемых «звездных»
точках (с координатами
,
где α – расстояние от центра плана до "звездной" точки;
3) проводится n0 опытов в центре плана с координатами (0, 0,... , 0). Тогда общее число опытов в КП при k факторах равно:
Пример КП при k=2 в геометрической форме представлен на рис.8.
Рис.8. Композиционный план при k=2
а) точки 1,2,3,4 соответствуют опытам ПФЭ 22;
б) точки 5,6,7,8 с координатами (+α,0), (-α,0), (0,+α), (0,-α) соответствуют «звездным» точкам;
в) точка 9 соответствует n0 числу опытов в центре плана.
Величина «звездного» плеча α и количество опытов в центре плана n0 определяются типом КП.
Наибольшее распространение в технологии ЭС среди КП получили ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) и рототабельный центральный композиционный план (РЦКП).
ОЦКП
В ОЦКП число опытов в центре плана берется равным 1, а значение α выбирается из условия ортогональности плана и оно равно:
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
α |
1 |
1,215 |
1,414 |
1,547 |
ОЦКП при k=3 содержит 15 опытов:
в то время как ПФЭ типа 33 содержит 27 опытов, т.е. имеется выигрыш по N.
В качестве примера в табл.17 приведена матрица планирования ОЦКП при k=3.
Таблица 17
Матрица планирования ОЦКП при k=3.
N опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
|
|
X1X2 |
X1X3 |
X2X3 |
Y |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
у1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
у2 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
у3 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
у4 |
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
-1 |
-1 |
у5 |
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
+1 |
-1 |
у6 |
7 |
-1 |
+1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
-1 |
-1 |
+1 |
у7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
у8 |
9 |
-1,21 |
0 |
0 |
+0,74 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у9 |
10 |
+1,21 |
0 |
0 |
+0,74 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у10 |
11 |
0 |
-1,21 |
0 |
-0,73 |
+0,74 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у11 |
12 |
0 |
+1,21 |
0 |
-0,73 |
+0,74 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у12 |
13 |
0 |
0 |
-1,21 |
-0,73 |
-0,73 |
+0,74 |
0 |
0 |
0 |
у13 |
14 |
0 |
0 |
+1,21 |
-0,73 |
-0,73 |
+0,74 |
0 |
0 |
0 |
у14 |
15 |
0 |
0 |
0 |
-0,73 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у15 |
При ОЦКП точность определения y по модели (29) в различных направлениях факторного пространства на одинаковом расстоянии от центра плана неодинакова, т.е. при R=const, S2{y}≠const.
Если основным требованием к плану является обеспечение одинаковой точности определения y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра плана, то применяется РЦКП.
РЦКП
Рототабельность – свойство обеспечения одинаковой дисперсии определения величины y во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра плана.
Условие рототабельности – при R = const, S2{y}=const.
Для обеспечения условия рототабельности, величину α выбирают из выражения:
а значения n0 определяются в зависимости от числа факторов. Для ПФЭ 2k имеем:
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
n0 |
5 |
6 |
7 |
10 |
15 |
21 |
Общее число опытов NРЦКП:
