2.3. Основные виды законов распределения для непрерывных случайных величин

РАВНОВЕРОЯТНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Простейшим распределением для непрерывной СВ Х является равновероятный закон распределения с плотностью распределения f(x) вида:

где х₁ и х₂ – пределы изменения Х.

Тогда:

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Распределение СВ Х подчиняется экспоненциальному закону, если плотность распределения f(x) имеет вид:

где λ – интенсивность случайного события – постоянная величина. Тогда функция распределения:

Характерным признаком этого распределения является постоянство значения λ.

Экспоненциальный закон используется при математическом моделировании, когда более поздним наблюдениям над показателем качества ЭС придается больший «вес» по сравнению с ранними.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (НЗР)

НЗР – наиболее часто встречающийся на практике вид распределения в технологии производства ЭС.

Анализ общих условий возникновения НЗР показывает, что если отклонение параметра γ от номинального значения вызвано действием достаточно большого числа k независимых или слабо зависимых факторов x_i

и среди k факторов нет явно превалирующих над остальными, то закон распределения параметра γ при увеличении k стремится к нормальному. Причем закон распределения факторов x_i может быть любым. Это утверждение является следствием центральной предельной теоремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова).

Для НЗР:

Из выражения для функции распределения F(x) можно найти вероятность нахождения непрерывной СВ в пределах значений x₁ и x₂:

где Ф(z) – нормированная функция Лапласа. Значения функции Ф(z) табулированы [2].

Из приведенного выражения можно вычислить вероятность нахождения СВ Х в пределах: ±S; ±2S; ±3S. Они равны соответственно: 0,683; 0,955; 0,9973.

Практически рассеяние СВ, подчиненной НЗР, находится в пределах m(x)±3S(x), т.к. вероятность попадания ее за пределы этого участка очень мала (0,0027), т.е. такое событие можно считать почти невозможным. Отсюда следует правило «трех сигм»: если СВ имеет НЗР, то отклонение ее значений от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения. S – выборочная оценка σ (сигмы).

При математическом моделировании часто приходится проверять распределение показателей качества ЭС на соответствие НЗР.

2.4. Числовые характеристики случайных величин

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Математическое ожидание – среднее значение СВ в генеральной совокупности. Оно характеризует центр распределения СВ Х.

Статистическое значение математического ожидания вычисляется по формуле:

2. Медиана Me – значение СВ, которое делит упорядоченный ряд статистических данных на две равные по объему группы.

Если в упорядоченном ряде нечетное 2k+1 число значений статистических данных, то значение x_k+1

Если в упорядоченном ряде четное 2k число значений статистических данных, то значение

3. Мода Mo – значение СВ, которое наиболее часто встречается в наблюдаемом ряде статистических данных. Бывают двумодальные и многомодальные распределения.

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕЯНИЯ

1. Размах ( R ) статистических данных.

2. Центр интервала статистических данных (x_ср.).

3. Дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения СВ от среднего значения. Она характеризует степень рассеяния СВ от среднего значения.

Статистическое значение дисперсии вычисляется по формуле:

4. Среднеквадратическое отклонение (S). S – корень квадратный от дисперсии; имеет ту же размерность, что и СВ.

5. Коэффициент вариации (V). Характеризует рассеивание СВ в относительных единицах.