2.2. Законы распределения случайных величин

Обозначим:

Х – случайная величина (СВ);

x₁, x₂,…, x_i,…, x_n – значения СВ;

Р – вероятность появления СВ Х;

p₁, p₂,…, p_i,…,p_n – вероятности появления значений x₁, x₂,…, x_i,…, x_n соответственно;

n – объем выборки.

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями их появления.

Закон распределения дискретной СВ представляется в виде статистического ряда распределения:

X	x1	x2	…	xi	…	xn
P	p1	p2	…	pi	…	pn

В этой таблице – вероятность принятия СВ значения х_i c частотой m_i; .

Графическое изображение статистического ряда называется полигоном.

Для непрерывной СВ не существует статистического ряда распределения, но есть аналог, где вместо дискретных значений Х берутся интервалы значений СВ равной длины l, а величины P представляют отношение числа значений СВ, попавших в данный интервал, к суммарному числу наблюдаемых значений.

Длина интервала l и число интервалов q находятся из выражений:

; ,

где х_max и х_min – максимальное и минимальное значение СВ в выборке.

Если значение СВ находится в точности на границе двух интервалов, то условно считается, что оно в равной мере принадлежит к обоим интервалам, и поэтому необходимо прибавить к величинам m того и другого интервала по 0,5. Если два значения СВ находятся на границе – то надо прибавить по 1 и т.д.

Графическое изображение полученного закона распределения непрерывной СВ называется гистограммой, где по оси абсцисс откладываются интервалы длиной l (их число равно q), а по оси ординат – прямоугольники с высотой, равной вероятности попадания СВ в i-й интервал (i=1,2,…,q).

Наиболее полную информацию о связи X и P дают интегральный и дифференциальный законы распределения.

Интегральный закон распределения (функция распределния) F(x) – вероятность того, что СВ X меньше некоторой текущей переменной x:

.

F(x) существует как для дискретной, так и для непрерывной СВ.

Свойства функции распределения:

1. F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при

;

2. ;

3. .

Эмпирическая функция распределения F*(x), т.е. вычисленная по экспериментальным статистическим данным, находится по формуле:

Тогда для непрерывной СВ имеем:

где x_i – среднее значение i-го интервала (i=1,2,…,q).

Дифференциальный закон распределения (плотность распределения) f(x) характеризует плотность, с которой распределены значения СВ в точке Х=х:

Плотность распределения – это производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения:

1. ;

2. 

Функция распределения от плотности распределения выражается следующим образом:

В теории математического моделирования показатели качества ЭС являются непрерывными СВ.