4.2.3. Корреляционный анализ

Одной из основных задач корреляционного анализа является нахождение статистической связи между двумя случайными величинами х и y.

Степень связи характеризуется коэффициентом парной корреляции r_xy (или r_yx).

где m_x и m_y – средние значения, например:

Sx и Sy – средние квадратические отклонения, например:

n – число пар наблюдений над x и y.

Параметры x и y считаются статистически зависимыми, если

где α – уровень принимаемого решения; α=0,01…0,1.

Численное значение r_xy: -1≤ r_xy ≤1.

– функциональная зависимость;

r_xy = 0 – независимость x и y.

Знак «-»: при увеличении x y уменьшается ;

при уменьшении x y увеличивается.

Знак «+»: при увеличении x у увеличивается ;

при уменьшении x y уменьшается.

Если параметры x и y статистически зависимы, то где

Пример. По экспериментальным данным, приведенным в параграфе 4.2.1 пособия, вычислить коэффициент парной корреляции r_xy, проверить статистическую зависимость параметров х и у и построить математическую модель y=b₀+b₁x, если они статистически зависимы.

Имеем:

Проверяем статистическую зависимость параметров х и у:

Так как 6,9 > 4,3, то параметры х и у статистически зависимы. Тогда уравнение регрессии имеет вид:

Полученная методом корреляционного анализа математическая модель полностью совпадает с моделью, построенной в параграфе 4.2.1 на основе регрессионного анализа.

4.2.4. Оценка адекватности мм

Оценку адекватности ММ производят с помощью коэффициента множественной корреляции R.

Математическая модель считается адекватной, если R > 0,8.

Для практических целей предлагается использовать коэффициент γ:

- СКО величины у;

- СКО величины у относительно значений, полученных по уравнению регрессии;

у_i - экспериментальное значение у в i-ом опыте;

- среднее экспериментальное значение; - если нет дублирования опытов;

у_iмод - значение у в i-ом опыте, вычисленное по модели (уравнению регрессии);

m - число коэффициентов уравнения регрессии;

n – число опытов (экспериментов, измерений).

На рис.4 приведена графическая зависимость γ от R .

Рис.4.Зависимость γ от коэффициента множественной корреляции R

Из рис.4 следует, что уравнение регрессии имеет практический смысл, т.е. ММ адекватно описывает процесс, если γ ≥ 2.

условие адекватности ММ.

4.3. Активный эксперимент для мм

4.3.1. Вид и алгоритм построения математической модели

Обозначим:

y – показатель качества изготавливаемого изделия;

x₁, x₂,…, x_i,…, x_k – независимые факторы, определяющие величину y.

В теории планирования активного эксперимента зависимость представляется полиномом вида

где – неизвестные коэффициенты.

Пользуясь экспериментальными данными можно определить лишь выборочные коэффициенты b₀, b_i, …, b_ii, которые являются оценками коэффициентов и реально модель (20) имеет вид:

Алгоритм построения математической модели.

1. Выбор факторов (см. главу 3 пособия).

2. Выбор плана эксперимента.

3. Проведение эксперимента.

4. Проверка воспроизводимости эксперимента.

5. Вычисление коэффициентов модели.

6. Проверка значимости коэффициентов модели.

7. Проверка адекватности модели.

8. Анализ и синтез ТП по полученной модели.

Рассмотрим построение ММ на конкретном плане эксперимента – полном факторном эксперименте типа 2^k.