3.2. Полный факторный эксперимент

Матрица планирования и соответствующий ей эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Матрица планирования полного факторного эксперимента 2² с дублированием каждого опыта m раз представлена в табл.3.l.

Таблица 3.1

Матрица планирования типа 2²

Номер опыта	Кодированные значения факторов				Результаты дублированных опытов
	X0	X1	X2	X1X2		Y1	Y2	….	Ym
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1	+1 -1 -1 +1		Y11 Y22 Y31 Y41	Y21 Y22 Y32 Y42	…. …. …. ….	Ym1 Ym2 Ym3 Ym4

Для упрощения матрицы планирования единицы, как правило, опускаются.

При построении матрицы планирования целесообразно пользоваться следующей системой чередования знаков: в первом столбце таблицы знаки уровней меняются поочередно (+ - + - и т.д.); во втором - чередуются через два (- -+ +- - и т.д.); в третьем - через четыре (- - - - + + + +) и т.д. по степеням двойки.

Вектор-столбец эффектов взаимодействий Х₁Х₂ строится путем перемножения столбцов взаимодействующих факторов.

Известно, что построенная матрица планирования обеспечивает получение качественной математической модели (с наилучшими оценками коэффициентов регрессии) в том случае, если ее план имеет свойства симметричности, нормированности, ортогональности и ротабельности.

Симметричность плана – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, т.е. , где N - число опытов j=1,2,...,k - номер фактора.

Нормированность плана - сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, т.е.

Ортогональность плана - сумма построчных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю т.е. , где

Ротабельность плана - свойство, обеспечивающее возможность предсказания значений параметра оптимизации с одинаковой точностью в любых направления х от центра эксперимента.

В представленной в табл.3.1 матрице планирования двухфакторного эксперимента 2² с эффектом взаимодействия факторов будет следующая математическая модель процесса:

(3.3)

Целью реализации эксперимента по данному плану является фиксирование параметра оптимизации с последующим вычислением неизвестных коэффициентов модели b_i по формуле, полученной методом наименьших квадратов:

(3.4)

Благодаря кодированию факторов коэффициенты b₁, b₂ и b₁₂ находятся по формуле простым арифметическим подсчетом. Например,

Аналогичным способом находится и коэффициент b₀, если уравнение справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений факторов, т. е. Но в силу свойства симметричности плана , следовательно . Другими словами, видно, что b₀ - это среднее арифметическое значение параметра оптимизации. Чтобы привести процедуру вычисления b₀ в соответствие с формулой, в матрицу планирования вводят (см. табл.3.1) дополнительный вектор-столбец фиктивной переменной х₀, которая во всех опытах принимает значение +1.

Коэффициент модели b_j указывает на степень влияния соответствующего фактора. Чем больше абсолютная величина коэффициентов, тем большее влияние оказывает фактор на параметр оптимизации. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора увеличивается и параметр оптимизации, а если минус, то уменьшается.