2 Аппроксимация экспериментальных данных

Методы аппроксимации осуществляют путем подбора, по возможности, простых аналитических формул, с достаточной степенью точности отображающих экспериментально полученные зависимости. Чаще всего вид общей формулы заранее неизвестен.

По характеру расположения экспериментальных точек на графике или анализа теоретической информации всегда можно установить примерный вид изучаемой зависимости.

Результаты экспериментов содержат случайные ошибки, поэтому нельзя требовать, чтобы подобранная формула точно соответствовала всем экспериментальным точкам. Другими словами, график искомой функции не должен проходить через все точки. Желательно, чтобы отклонения результатов эксперимента, от значений, вычисленных по формуле, были как можно меньше.

Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений, величин Y_э,Y_э1,Y_э2,…,Y_э_n, соответствующим значениям аргумента Х₁, Х₂, Х₃,… Х_n, которые на графике представлены в виде точек. Необходимо установить эмпирическую зависимость между Х и Y при этом принимают следующие допущения:

1) все значения переменной Х_i являются точными, т.е. ошибками в их экспериментальном определении можно пренебречь.

2) результаты эксперимента Y_э;Y_э1;Y_э2;…;Y_э_n; являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения.

Уравнения, связывающие случайную величину Y с неслучайной Х, называются уравнениями регрессии по предложению Френсиса Гамильтона.

2.1 Метод средних

По методу средних или среднеарифметическому методу требуется, чтобы сумма разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и экспериментальными ее значениями равнялась нулю:

Пусть экспериментальная зависимость на рис. 2.1 аппроксимируется уравнением прямой вида

где а - постоянная, подлежащая определению. По среднеарифметическому методу имеем

Пусть экспериментальная зависимость на рис. 2.2 аппроксимируется уравнением прямой вида

где а и b – неизвестные параметры, подлежащие определению.

По среднеарифметическому методу

Рис. 2.1. Аппроксимация экспериментальных точек уравнением вида У=аХ

Рис. 2.2. Аппроксимация экспериментальных точек уравнением вида У=аХ+в

Так для определения коэффициентов а и b требуется два уравнения, то разобьем данные опытов на две группы с примерно одинаковым (если n-нечетное) или одинаковым (если n-четное) числом опытов. Тогда получим два уравнения:

Решая систему двух уравнений, получим значения коэффициентов а и b.

Для описания экспериментальных точек, изображенных на рис. 2.3, при нелинейной аппроксимации можно использовать квадратичную зависимость

По среднеарифметическому методу имеем

Так как для определения трех постоянных а, b, c требуется три уравнения, то данные опытов разбивают на три примерно равные по числу опытов группы и составляют три уравнения.

Другие примеры подбора функций показаны на рис. 2.4.

2.2 Метод наименьших квадратов

По методу наименьших квадратов (МНК), разработанному Гауссом более 170 лет назад, требуется, чтобы сумма квадратов разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и экспериментальными ее значениями была минимальной: