2. Симплекс-метод

Это метод поиска экстремума целевой функции, обеспечивающий минимальное число опытов при небольшом объеме вычислений. Метод может использоваться при управлении технологическими процессами с учетом изменяющихся условий производства.

Симплекс-это простейший выпуклый многогранник, образованный k+1 вершиной общего положения в k-мерном пространстве. На плоскости симплекс образуется тремя точками, не лежащими на одной прямой (любой треугольник). В трехмерном пространстве симплекс образуется любыми 4 точками, не лежащими в одной плоскости, то есть это любая треугольная пирамида. Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны. Регулярными симплексами являются правильный треугольник, тетраэдр и т.д. Таким образом, точка - это нуль-мерный симплекс, а отрезок прямой - одномерный симплекс.

Из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всего одну точку. Путем последовательного отбрасывания вершин можно осуществлять движение симплекса в факторном пространстве, причем это перемещение будет происходить с каждым экспериментом (рис 4.4).

Если провести эксперимент в вершинах симплекса, то направление максимального наклона поверхности Y (направление градиента), определенное на основании проведенных наблюдений, будет проходить из центра симплекса через грань, противолежащую вершине с минимальным значением Y. При этом предполагается, что поверхность Y в области, ограниченной симплексом, близка к плоскости.

Для продвижения к экстремуму необходимо перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения Y, путем отбрасывания вершины с минимальным значением Y и построением на оставшейся грани симплекса с новой вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным отражением отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным значением Y и построения нового симплекса повторяется, в результате чего формируется цепочка симплексов, перемещающихся к экстремуму. Достигнув области экстремума, симплекс начинает вращение вокруг вершины с максимальным значением Y. Это явление используется для определения конца процесса оптимизации.

Рис.4.4. Схема поиска экстремума симплекс-методов

Правильный к-мерный симплекс с центром в начале координат может быть задан следующей матрицей:

где R_i,r_i – соответственно радиусы сфер, описанных и вписанных около i-мерного симплекса. При длине ребра симплекса, равного единицы, радиусы гиперсфер равны

где i=1,2,3,…,k.

Координаты экспериментальных точек, соответствующих вершинам симплекса, можно представить в виде таблицы:

№ опыта	X1	X2	X3	X4	X5	…	Xk	y
1	-0,5	-0,289	-0,204	-0,158	-0,129	...	r=	Y1
2	0,5	-0,289	-0,204	-0,158	-0,129	...		Y2
3	0	0,578	-0,204	-0,158	-0,129	...		Y3
4	0	0	0,612	-0,158	-0,129	...		Y4
5	0	0	0	0,623	-0,129	...		Y5
6	0	0	0	0	0,645	...		Y6
....	...	...	...	...	...	...		…
k+1	0	0	0	0	0	...		Yk+1

Из структуры матрицы видно, что увеличение факторного пространства на единицу влечет добавление одной строки и одного столбца, соответствующих дополнительной экспериментальной точке. Координаты вершин определяются строками матрицы. Одна из вершин лежит на оси х_k, а остальные вершины располагаются симметрично относительно координатных осей.

Для двух факторов имеем:

;

Тогда вершины симплекса запишем в таблице следующем образом:

N	X1	X2
1	-r1	-r2
2	R1	-r1
3	0	R2

N	X1	X2
1	-0,5	-0,289
2	0,5	-0,289
3	0	0,578

Рис. 4.5. Двухмерный симплекс

Возможны и другие исходные положения начального симплекса, например, приведенные на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Некоторые виды начального симплекса

Координаты вершин симплексов, представлены на рис. 4.6, записываются следующей таблицей:

N	X1	X2
1	0	0
2	1	0
3	0,5	0,86

N	X1	X2
1	0	0
2	p	q
3	q	p

Пример

Задача: Используя симплексное планирование, оптимизировать процесс резания по критерию стойкости в зависимости от скорости резания ƒ и подачи при сверлении s:

Основные уровни и интервалы варьирования управляющих факторов приведены в таблице:

Факторы или параметры	Обозначение	Основной уровень	Интервал варьирования
Частота вращения ƒ (об/мин)	X1	2050	2000
Подача s (мм/об)	X2	0,003	0,0012

Двухмерный симплекс в данном случае представляет собой равносторонний треугольник ABC. Расстояние между вершинами симплекса прием равным единице. В этом случае высота симплекса будет равна 0,86. Координаты вершины нового симплекса (в кодированных значениях) находятся по формуле:

где х_ik+2 – координата новой вершины, являющейся зеркальным отображением отбрасываемой вершины; х_i* - координата отбрасываемой вершины; - среднее значение координат вершин симплекса, кроме отбрасываемой.

Для нашего примера координаты точки А` будут:

Теперь необходимо по кодированным значения точки определить их натуральные значения, т.е. значения факторов при эксперименте в точке. Натуральные и кодированные значения факторов связаны формулой

где х_i - кодированное значение фактора; - натуральные значения фактора; - интервал варьирования фактора; - основной уровень фактора.

Подставляя вместо х_i кодированные значения х₁=x₁₄ и х₂=х₂₄, получаем

откуда находим: =5050 об/мин, =0,004 об/мин. Аналогично находятся значения и для других точек.

Действуя далее по аналогичной схеме, отбрасывая вершины с наименьшими значениями стойкости и добавляя новые, получим движение симплекса, описанное в следующей таблице.

N	Симплекс	Вершина	Частота вращения X1		Подача X2			Стойкость (мин)
			Код.	Об/мин	Код.	мм/об
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	ABC ABC ABC A’BC A’B’C A’B’C’ A’B’’C’ A’’B’’C’ A’’B’’C’’ A’’’B’’C’’ A’’’B’’C’’’	A B C A’ B’ C’ B’’ A’’ C’’ A’’’ C’’’	0 0,5 1 1,5 2 2,5 2 3 2,5 2,5 1	2050 6050	0 0,86 0 0,86 0 0,86 1,72 1,72 2,58 2,58 1,72		0,003 0,005	9,0 13,2 14,6 18,0 17,0 21,2 24,8 21,6 22,1 22,8 23,7

Движение симплекса прекращается его вращением вокруг точки В``. Таким образом, наибольшая стойкость достигается в точке В``. Оптимальным режимом при этом является следующий - скорость резания ƒ=6050 об/мин и подача s=0,005 об/мин.