- •Методология научного эксперимента
- •Введение
- •1 Общие сведения об эксперименте
- •1.1 Что такое эксперимент?
- •1.2 Элементы теории измерений.
- •1.3. Погрешности косвенных измерений
- •1.4. Выявление и исключение промахов
- •1.7 Задачи к разделу
- •1.5. Графическая обработка результатов эксперимента
- •1.6 Вопросы для самопроверки
- •2 Аппроксимация экспериментальных данных
- •2.1 Метод средних
- •2.2 Метод наименьших квадратов
- •2.3 Аппроксимация в виде системы линейно независимых функций
- •2.4 Сглаживание исходной информации
- •2.5 Вопросы для самопроверки
- •Задачи и упражнения к разделу
- •3. Построение плана многофакторного эксперимента
- •3.1. Планирование факторного эксперимента
- •3.2. Полный факторный эксперимент
- •3.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.4. Математическая обработка факторного эксперимента
- •3.5. Планы второго порядка
- •3.5.1. Ротабельное планирование
- •3.5.2. Некомпозиционный план
- •3.6. Вопросы для самопроверки
- •3.7. Задачи и упражнения к разделу
- •4. Поиск оптимальных условий в экспериментальных исследованиях
- •Одномерные методы поиска экстремума
- •Метод дихотомии
- •4.1.2. Метод Фибоначчи
- •4.1.3. Метод «золотого сечения»
- •Многомерные методы поиска
- •4.2.1 Метод Гаусса-Зайделя
- •Метод крутого восхождения
- •Симплекс-метод
- •4.3. Вопросы для самопроверки
- •4.4. Задачи и упражнения к разделу
- •5. Дисперсионный анализ
- •5.1. Основные понятия дисперсионного анализа
- •5.1.1 Однофакторный дисперсионный анализ
- •Двухфакторный дисперсионный анализ
- •5.2. Латинские и греко-латинские квадраты
- •5.3. Вопросы для самопроверки
- •5.4. Задачи и упражнения к разделу
5.3. Вопросы для самопроверки
1. Что такое дисперсионный анализ?
2. Для каких целей применяется дисперсионный анализ?
3. Каковы основные этапы проведения дисперсионного анализа?
4. Как подсчитать дисперсию ошибки опыта при однофакторном дисперсионном анализе?
5. Как подсчитать ошибку опыта при двухфакторном дисперсионном анализе?
6. Назовите основные параметры, влияющие на ошибку опыта при двухфакторном дисперсионном анализе.
7. Что называется латинским квадратом?
8. В чем отличие греческо-латинского квадрата от латинского?
9. Какие планы называются сбалансированными и несбалансированными? Поясните на примерах.
10. Чем отличаются полноблочные планы от неполноблочиых? Приведите примеры.
11. Какое предельное число факторов может использоваться планах, построенных по принципу греко-латинских квадратов?
12. По какому принципу заполняются клетки греко-латинского квадрата?
13. Как рассчитать коэффициенты математической модели по данным греко-латинского квадрата?
5.4. Задачи и упражнения к разделу
1. Определите, какую реплику ПФЭ 34 составляет греко-латинский квадрат 3х3.
2. Определите, какую реплику ПФЭ 44 составляет греко-латинский квадрат 4х4.
3. Определите, какую реплику ПФЭ 54 составляет греко-латинский квадрат 5х5.
4. Определите, какую реплику РФЭ 45 составляет гипергреко-латинский квадрат 4x4 .
5. В клетках таблицы приведены результаты 4-факториorо эксперимента, спланированного на 5 уровнях с использованием греко-латинского квадрата по факторам х3 и х4.
-
X1
X2
B1
B2
B3
B4
B5
a1
Aγ
512
Dε
601
Eδ
643
Cα
654
Bβ
744
a2
Bδ
503
Eα
502
Aε
588
Dβ
616
Cγ
712
a3
Cε
520
Aβ
376
Bα
411
Eγ
579
Dδ
513
a4
Eβ
347
Cδ
655
Dγ
438
Bε
562
Aα
319
a5
Dα
220
Bγ
333
Cβ
299
Aδ
435
Eε
583
Факторы изменяются на следующих уровнях:
х1-а1,а2,а3,а4,а5; х2-в1,в2,в3,в4,в5; х3-A,B,C,D,E; х4-α,β,y,δ,ε.
Требуется построить математическую модель.
Список литературы
1. Блантер М.Е. Методика исследования металлов и обработка экспериментальных данных. - М.: Металлургиздат, 1952.
2. Пустовалов Г.Е., Галилаева Е.В. Простейшие физические измерения и их обработка. -М.:МГУ, 1967.
3. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений.- М.: Наука, 1968.
4. Зайдель А.Н. Элементарные оценки ошибок измерения. - Л.: Наука, 1968.
5. Щиголев Е.М. Математическая обработка наблюдений. – М.: Наука, 1969.
6. Гречников Ф.В., Игуменов А.А. Планирование и обработка на ЭВМ результатов исследований процессов ОМД в авиастроении: Учеб. пособие,- Куйбышев: КуАИ, 1987. 63с.
7. Каргин В.Р. Основы системного проектирования и совершенства процессов ОМД: Учеб. пособ. - Куйбышев: КуАИ, 1990. 88с.
Приложение
Таблица П1
Коэффициенты Стьюдента tα,n
n-1 |
α |
||||
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,001 |
|
1 |
6,31 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
2 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
31,6 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,9 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
5 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6,87 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,96 |
7 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
5,41 |
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,44 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
4,32 |
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
1,02 |
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,97 |
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
20 |
1,73 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,85 |
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,82 |
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,79 |
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,77 |
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,75 |
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,73 |
26 |
1,70 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,71 |
27 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,69 |
28 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
3,67 |
29 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,66 |
30 |
1,69 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,65 |
32 |
1,69 |
2,03 |
2,45 |
2,74 |
3,62 |
34 |
1,69 |
2,03 |
2,44 |
2,73 |
3,60 |
36 |
1,69 |
2,03 |
2,53 |
2,72 |
3,58 |
38 |
1,68 |
2,02 |
2,53 |
2,71 |
3,57 |
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,55 |
42 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,54 |
44 |
1,68 |
2,02 |
2,41 |
2,69 |
3,53 |
46 |
1,68 |
2,01 |
2,41 |
2,69 |
3,52 |
48 |
1,68 |
2,01 |
2,41 |
2,68 |
3,51 |
50 |
1,68 |
2,01 |
2,40 |
2,68 |
3, 50 |
55 |
1,67 |
2,00 |
2,40 |
2,67 |
3,48 |
60 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
3, 46 |
65 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,65 |
3,45 |
Таблица П2
Значения F критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости
ƒ1 |
ƒ2 |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
12 |
24 |
|
1 |
164,4 |
199,5 |
215,7 |
224,6 |
230,2 |
234,0 |
244,9 |
249,0 |
254,3 |
2 |
18,5 |
12,2 |
19,2 |
19,3 |
19,3 |
19,3 |
19,4 |
19,4 |
19,5 |
3 |
10,1 |
9,6 |
9,3 |
9,1 |
9,0 |
8,9 |
8,7 |
8,6 |
8,5 |
4 |
7,7 |
6,9 |
6,6 |
6,4 |
6,3 |
6,3 |
5,9 |
5,8 |
5,6 |
5 |
6,6 |
5,8 |
5,4 |
5,2 |
5,1 |
5,0 |
4,7 |
4,5 |
4,4 |
6 |
6,0 |
5,1 |
4,8 |
4,5 |
4,4 |
4,3 |
4,0 |
3,8 |
3,7 |
7 |
5,5 |
4,7 |
4,4 |
4,1 |
4,0 |
3,9 |
3,3 |
3,4 |
3,2 |
8 |
5,3 |
4,5 |
4,1 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,3 |
3,1 |
2,7 |
9 |
5,1 |
4,3 |
3,9 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,1 |
2,9 |
2,5 |
10 |
5,0 |
4,1 |
3,7 |
3,5 |
3,3 |
3,2 |
2,9 |
2,7 |
2,4 |
11 |
4,8 |
4,0 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
3,1 |
2,8 |
2,6 |
2,3 |
12 |
4,8 |
3,9 |
3,5 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,7 |
2,5 |
2,2 |
13 |
4,7 |
3,8 |
3,4 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
14 |
4,6 |
3,7 |
3,3 |
3,1 |
3,0 |
2,9 |
2,5 |
2,3 |
2,1 |
15 |
4,5 |
3,7 |
3,3 |
3,1 |
2,9 |
2,8 |
2,5 |
2,3 |
2,0 |
16 |
4,5 |
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,9 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
17 |
4,5 |
3,6 |
3,2 |
3,0 |
2,8 |
2,7 |
2,4 |
2,2 |
1,9 |
18 |
4,4 |
3,6 |
3,2 |
2,9 |
2,8 |
2,7 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
19 |
4,4 |
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,9 |
20 |
4,4 |
3,5 |
3,1 |
2,9 |
2,7 |
2,6 |
2,3 |
2,1 |
1,8 |
22 |
4,3 |
3,4 |
3,1 |
2,8 |
2,7 |
2,6 |
2,1 |
2,0 |
1,7 |
24 |
4,3 |
3,4 |
3,0 |
2,8 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
26 |
4,2 |
3,4 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,5 |
2,2 |
2,0 |
1,7 |
28 |
4,2 |
3,3 |
3,0 |
2,7 |
2,6 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1,7 |
30 |
4,2 |
3,3 |
2,9 |
2,7 |
2,5 |
2,4 |
2,1 |
1,9 |
1,6 |
40 |
4,1 |
3,2 |
2,9 |
2,6 |
2,5 |
2,3 |
2,0 |
1,8 |
1,5 |
60 |
4,0 |
3,2 |
2,8 |
2,5 |
2,4 |
2, 3 |
1,9 |
1,7 |
1,4 |
120 |
3,9 |
3,1 |
2,7 |
2,5 |
2,3 |
2,2 |
1,8 |
1,6 |
1,3 |
Таблица П3
Значения G критерия Кохрена при 5%-ном уровне значимости
N |
ƒ1=m-1 |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
2 |
0,9985 |
0,9750 |
0,9392 |
0,9057 |
0,8772 |
0,8534 |
0,8332 |
0,8159 |
0,8010 |
0,7880 |
|
3 |
0,9669 |
0,8709 |
0,0797 |
0,7454 |
0,7071 |
0,6771 |
0,6530 |
0,6333 |
0,6167 |
0,6025 |
|
4 |
0,9065 |
0,7679 |
0,6841 |
0,6287 |
0,5895 |
0,5598 |
0,5365 |
0,5175 |
0,5017 |
0,4884 |
|
5 |
0,8412 |
0,6838 |
0,5981 |
0,5441 |
0,5065 |
0,4783 |
0,4564 |
0,4387 |
0,4241 |
0,4118 |
|
6 |
0,7808 |
0,6161 |
0,5321 |
0,4803 |
0,4447 |
0,4184 |
0,4148 |
0,3817 |
0,3682 |
0,3568 |
|
7 |
0,7271 |
0,5612 |
0,4800 |
0,4307 |
0,3974 |
0,3368 |
0,3555 |
0,3384 |
0,3254 |
0,3154 |
|
8 |
0,6798 |
0,5157 |
0,4377 |
0,3910 |
0,3595 |
0,3362 |
0,3247 |
0,3043 |
0,2926 |
0,2829 |
|
9 |
0,6385 |
0,4775 |
0,4027 |
0,3584 |
0,7276 |
0,3067 |
0,2901 |
0,2768 |
0,2659 |
0,2568 |
|
10 |
0,6020 |
0,4450 |
0,3733 |
0,3311 |
0,3029 |
0,2823 |
0,2666 |
0,2541 |
0,2439 |
0,2353 |
|
12 |
0,5410 |
0,3924 |
0,3264 |
0,2880 |
0,2624 |
0,2439 |
0,2299 |
0,2187 |
0,2098 |
0,2020 |
|
15 |
0,4709 |
0,3346 |
0,2758 |
0,2419 |
0,2195 |
0,2034 |
0,1911 |
0,1815 |
0,1736 |
0,1671 |
|
20 |
0,3894 |
0,2705 |
0,2205 |
0,1921 |
0,1735 |
0,1602 |
0,1601 |
0,1422 |
0,1357 |
0,1303 |
|
24 |
0,3434 |
0,2354 |
0,1907 |
0,1656 |
0,1493 |
0,1374 |
0,1286 |
0,1216 |
0,1160 |
0,1113 |
|
30 |
0,2929 |
0,1980 |
0,1593 |
0,1377 |
0,1237 |
0,1137 |
0,1061 |
0,1001 |
0,0958 |
0,0921 |
|
40 |
0,2370 |
0,1576 |
0,1259 |
0,1082 |
0,0968 |
0,0887 |
0,0827 |
0,5950 |
0,0745 |
0,0713 |
|
60 |
0,1737 |
0,1131 |
0,0895 |
0,0765 |
0,0682 |
0,0623 |
0,0583 |
0,0552 |
0,0520 |
0,0497 |
|
120 |
0,0998 |
0,0632 |
0,0495 |
0,0419 |
0,0371 |
0,0337 |
0,0212 |
0,0292 |
0,0279 |
0,0266 |
|
Таблица П4
Таблица равномерно распределенных случайных чисел
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
10 |
09 |
73 |
25 |
33 |
76 |
52 |
01 |
36 |
86 |
34 |
67 |
35 |
48 |
76 |
80 |
37 |
54 |
20 |
48 |
05 |
67 |
89 |
47 |
42 |
96 |
24 |
80 |
52 |
40 |
37 |
20 |
08 |
42 |
26 |
89 |
53 |
19 |
64 |
50 |
97 |
03 |
23 |
20 |
90 |
25 |
60 |
15 |
99 |
01 |
90 |
25 |
29 |
09 |
37 |
67 |
07 |
15 |
33 |
31 |
13 |
11 |
65 |
88 |
12 |
80 |
79 |
99 |
70 |
80 |
53 |
15 |
73 |
61 |
47 |
64 |
03 |
23 |
53 |
98 |
66 |
06 |
58 |
47 |
17 |
34 |
07 |
27 |
68 |
50 |
36 |
69 |
73 |
61 |
70 |
65 |
31 |
06 |
01 |
08 |
45 |
05 |
48 |
57 |
18 |
24 |
26 |
35 |
30 |
34 |
14 |
86 |
85 |
26 |
97 |
76 |
02 |
02 |
05 |
16 |
56 |
92 |
68 |
66 |
57 |
48 |
18 |
73 |
63 |
57 |
33 |
21 |
35 |
05 |
32 |
54 |
70 |
48 |
90 |
55 |
35 |
75 |
48 |
28 |
73 |
79 |
64 |
57 |
53 |
03 |
52 |
96 |
47 |
73 |
35 |
80 |
83 |
42 |
78 |
60 |
98 |
52 |
01 |
77 |
67 |
14 |
90 |
56 |
86 |
07 |
22 |
10 |
94 |
05 |
82 |
61 |
11 |
80 |
50 |
54 |
31 |
39 |
80 |
82 |
77 |
32 |
50 |
72 |
56 |
82 |
58 |
29 |
83 |
45 |
20 |
96 |
34 |
06 |
28 |
89 |
80 |
83 |
13 |
74 |
67 |
00 |
48 |
18 |
88 |
68 |
54 |
02 |
00 |
86 |
50 |
75 |
84 |
01 |
36 |
76 |
66 |
79 |
78 |
90 |
99 |
59 |
46 |
73 |
48 |
37 |
51 |
76 |
49 |
69 |
91 |
82 |
60 |
89 |
51 |
93 |
65 |
48 |
11 |
76 |
74 |
17 |
46 |
85 |
09 |
50 |
58 |
04 |
77 |
69 |
28 |
73 |
80 |
12 |
43 |
56 |
35 |
16 |
73 |
70 |
70 |
15 |
45 |
31 |
82 |
23 |
74 |
21 |
74 |
35 |
09 |
98 |
17 |
77 |
45 |
27 |
72 |
14 |
43 |
23 |
60 |
02 |
47 |
45 |
69 |
91 |
62 |
68 |
03 |
66 |
25 |
22 |
91 |
48 |
36 |
93 |
68 |
72 |
10 |
76 |
75 |
89 |
32 |
05 |
05 |
14 |
22 |
56 |
85 |
14 |
46 |
42 |
75 |
67 |
03 |
96 |
91 |
49 |
91 |
45 |
23 |
68 |
47 |
92 |
76 |
86 |
70 |
16 |
28 |
35 |
88 |
94 |
80 |
33 |
69 |
46 |
98 |
26 |
94 |
03 |
68 |
58 |
32 |
29 |
73 |
41 |
54 |
53 |
42 |
10 |
48 |
19 |
49 |
85 |
15 |
74 |
79 |
54 |
12 |
97 |
92 |
65 |
35 |
57 |
12 |
55 |
07 |
37 |
42 |
11 |
10 |
00 |
20 |
40 |
40 |
86 |
07 |
46 |
37 |
96 |
63 |
60 |
64 |
93 |
29 |
16 |
50 |
53 |
44 |
84 |
81 |
21 |
95 |
25 |
97 |
42 |
61 |
19 |
69 |
04 |
46 |
26 |
45 |
74 |
77 |
74 |
59 |
92 |
43 |
37 |
63 |
65 |
15 |
47 |
44 |
52 |
66 |
95 |
27 |
07 |
99 |
53 |
54 |
36 |
78 |
38 |
29 |
82 |
94 |
55 |
72 |
85 |
73 |
67 |
89 |
75 |
43 |
87 |
16 |
62 |
24 |
44 |
48 |
91 |
42 |
48 |
11 |
62 |
13 |
96 |
34 |
40 |
87 |
21 |
68 |
86 |
84 |
87 |
31 |
03 |
23 |
52 |
37 |
83 |
18 |
73 |
20 |
88 |
98 |
37 |
45 |
93 |
69 |
14 |
67 |
26 |
04 |
49 |
35 |
24 |
94 |
75 |
24 |
63 |
38 |
24 |
96 |
86 |
25 |
10 |
16 |
61 |
00 |
54 |
99 |
76 |
54 |
64 |
05 |
18 |
81 |
69 |
27 |
11 |
96 |
38 |
25 |
54 |
35 |
96 |
31 |
53 |
07 |
26 |
89 |
30 |
93 |
64 |
33 |
35 |
13 |
54 |
96 |
77 |
50 |
80 |
80 |
83 |
91 |
45 |
42 |
71 |
68 |
42 |
83 |
60 |
94 |
97 |
52 |
13 |
46 |
05 |
88 |
52 |
36 |
01 |
39 |
09 |
22 |
86 |
74 |
28 |
14 |
40 |
77 |
93 |
32 |
17 |
90 |
06 |
97 |
87 |
37 |
92 |
52 |
41 |
05 |
56 |
70 |
70 |
07 |
86 |
69 |
23 |
46 |
14 |
06 |
20 |
12 |
74 |
53 |
04 |
14 |
95 |
63 |
00 |
00 |
18 |
19 |
56 |
54 |
14 |
30 |
01 |
75 |
87 |
72 |
79 |
40 |
41 |
52 |
15 |
85 |
66 |
45 |
15 |
51 |
49 |
38 |
19 |
47 |
60 |
08 |
46 |
43 |
87 |
79 |
45 |
43 |
59 |
94 |
86 |
43 |
19 |
94 |
36 |
16 |
81 |
84 |
51 |
34 |
89 |
87 |
17 |
53 |
01 |
98 |
08 |
62 |
48 |
26 |
45 |
24 |
02 |
09 |
03 |
44 |
99 |
91 |
89 |
96 |
39 |
33 |
18 |
51 |
62 |
32 |
41 |
92 |
15 |
07 |
49 |
87 |
43 |
55 |
84 |
81 |
88 |
80 |
95 |
10 |
04 |
06 |
96 |
38 |
27 |
82 |
74 |
21 |
15 |
13 |
33 |
87 |
25 |
79 |
75 |
24 |
91 |
40 |
71 |
96 |
12 |
65 |
96 |
69 |
84 |
10 |
35 |
91 |
74 |
18 |
63 |
33 |
25 |
37 |
98 |
14 |
60 |
22 |
71 |
32 |
02 |
02 |
46 |
74 |
05 |
74 |
02 |
94 |
39 |
02 |
77 |
55 |
73 |
47 |
70 |
98 |
79 |
01 |
71 |
79 |
52 |