3.3. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию об объекте исследования и упростить анализ его состояний, построив полиномиальную модель. Необходимым и достаточным условием расчета коэффициентов этой модели является равенство числа опытов количеству определяемых коэффициентов. Однако с ростом числа факторов k число опытов возрастает по показательной функции N=2^k, a число коэффициентов b_j, в случае линейной модели увеличивается по линейному закону (b_j-1+k). Поэтому, начиная с k≥3, проведение ПФЭ в силу резкого увеличения количества опытов становится нецелесообразным, так как число опытов превышает число искомых коэффициентов регрессии : . Это создает объективные предпосылки для уменьшения количества опытов. С этой целью при планирования экспериментов с большим количеством факторов(k>3) используют только часть матрицы полного факторного эксперимента, которую называют дробной репликой ПФЭ или планом дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Такой план обеспечивает минимальную разницу между числом опытов в эксперименте и количеством оцениваемых параметров линейной модели.

Рассмотрим пример сокращения числа опытов при изучении влияния на процесс трех факторов. План ПФЭ с эффектами взаимодействия при двукратном повторении опытов будет иметь следующий вид (табл.3.2).

Таблица 3.2 - Матрицы планирования 2³

Номер опыта

Кодированные значения факторов

Результаты дублированных опытов

Результаты опытов

X0

X1

X2

X3

X1X2

X1X3

X2X3

X1X2 X3

Y1

Y2

Y̅

1 2 3 4 5 6 7 8

+ + + + + + + +

- + - + - + - +

- + - + - + - +

- - - - + + + +

+ - - + + - - +

+ - + - - + - +

+ + - - - - + +

- + + - + - - +

Y11 Y12 Y13 Y14 Y15 Y16 Y17 Y18

Y21 Y22 Y23 Y24 Y25 Y26 Y27 Y28

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8

Результатам экспериментов, выполненных по плану такой матрицы, будет отвечать следующий полином:

Если из анализа априорной информации ясно, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом процессе отсутствуют или пренебрежимо малы, то коэффициенты b_j в уравнении (3.5) при парных и тройных взаимодействиях будут стремиться к нулю, а для описания процесса достаточно линейной части полинома (3.5):

(3.5a)

Модель (3.5), как видим, практически идентична уравнению (3.3), полученному при двух ном эксперименте с эффектом взаимодействия. Только вместо независимой переменной х₃ в выражении (3.3) присутствует произведение факторов Х₁Х₂. Если же, как было отмечено, эффект парного взаимодействия Х₁Х₂ отсутствует и, следовательно, коэффициент b₁₂ →0, то в вектор-столбец Х₁Х₂ в матрице планирования 2² (табл.3.1) оказывается лишним. Использовав этот вектор-столбец для нового фактора Х₃, мы получим матрицу планирования трехфакторного эксперимента типа 2³ (табл.3.3), имеющую всего четыре опыта вместо восьми, но позволяющую рассчитать все коэффициенты модели (3.5a). Полученная таким образом матрица планирования и называется планом ДФЭ, в данном конкретном случае - полурепликой ПФЭ и обозначается N=2^3-1.

В общем случае ДФЭ условно обозначают как N=2^k-q, где q - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При q=1 получаем ½ ПФЭ (полуреплика), при q=2 - ¼ ПФЭ (четверть реплики) и т.д. по степени двойки.

При построении матриц планирования ДФЭ необходимо иметь в виду, что знаки уровней новых факторов, вводимых в план вместо эффектов взаимодействий, выбираются не произвольно, а должны соответствовать знакам столбцов тех взаимодействий, вместо которых они вводятся.

Для составления плана дробного факторного эксперимента следует брать ближайший полный факторный эксперимент, число опытов в котором больше числа факторов.

Так, на основе плана ПФЭ типа 2², имеющего лишь один эффект взаимодействия Х₁Х₂, может быть построено лишь две матрицы планирования ДФЭ типа 2^3-1. В первом случае X₃= Х₁Х₂, а во втором Х₃=- Х₁Х_2.

На основе ПФЭ плана поз типа 2³ (табл.3.2) можно построить матрицу планирования ДФЭ с числом факторов от 4 до 7. Так, заменив любой из эффектов взаимодействия четвертым фактором Х₄, получим ½ ПФЭ типа 2^4-1; заменив два эффекта взаимодействия факторами Х₄Х₅, получим ¼ ПФЭ типа 2^5-2; заменив все эффекты взаимодействия факторами Х₄, X₅, X₆, Х₇, получим 1/16 ПФЭ типа 2^7-4.

Выбор степени дробности реплик определяется также задачей, решаемой в исследовании. Так, при оптимизации стремятся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими и, следовательно, здесь можно воспользоваться той или иной репликой высокой степени дробности. В задачах интерполяции, наоборот, выявление таких эффектов может оказаться весьма важным и интересным. Поэтому здесь целесообразней использовать матрицу ПФЭ или ее полуреплику.

Так как матрица планирования ДФЭ строится путем замены вектор-столбцов эффектов взаимодействий новыми или дополнительными факторами, то можно ожидать, что величина выборочных коэффициентов регрессии b_j, будет являться одновременно оценкой генеральных значений коэффициентов как при основных эффектах β_j, так и при эффектах взаимодействий. Например, коэффициент b₃ в уравнении (3.5a) будет совместной оценкой для коэффициентов β₃ и β₁₂, т.е. b₃→β₃+β₁₂. Аналогично b₁→β₁+β₂₃, b₂→β₂+β₁₃. Другими словами, при таком планировании смешиваются эффекты взаимодействия с основными эффектами, в результате чего часть информации теряется (по сравнению с ПФЭ). От системы смешивания зависит эффективность дробной реплики. Матрицы планирования ДФЭ, в которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными.

Для определения систем смешивания эффектов в теории планирования дробных экспериментов применяется определенный контраст (OK). Он представляет собой символическое произведение столбцов, равное +1 или -1. Так, для полуреплики 2^3-1 (табл.3.3) определяющий контраст равен соотношению l=Х₁ Х₂ Х₃.

Чтобы установить, какое взаимодействие смешано с данным линейным (основным) эффектом, надо умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если определяющий контраст l=Х₁ Х₂ Х₃, то для Х₁ имеем Х₁=Х₁²Х₂Х₃=Х₂Х₃, так как Х₁²=1. Для Х₂ получим Х₂=Х₁Х₂²Х₃=Х₁Х₃, а для Х₃ – Х₃=Х₁Х₂.

Полученные соотношения называются генерирующими, они показывают, с каким эффектом смешан данный или какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором. Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью lll (по максимальному числу факторов в определяющем контрасте). Разрешающая способность будет максимальной в той реплике, где линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Для расчета максимальной разрешающей способности ДФЭ применяют обобщенный контраст, представляющий собой произведение высшего порядка определяющих контрастов. Например, для матрицы планирования типа 2^7-4 определяющими контрастами будут следующие соотношения:

Обобщающий контраст получается перемножением всех четырех контрастов.

Умножив полученный обобщающий контраст последовательно на Х₁, Х₂, Х₃, … , Х₇, получим план с разрешающей способностью VII.

В заключение необходимо отметить, что планы ПФЭ могут дробиться лишь до определенного предела. Так, предельное число факторов для восьми опытов равно семи, а для 16 опытов - пятнадцати и т.д.

Планы, в которых число опытов равно числу определяемых оценок коэффициентов функции отклика, называются насыщенными. К таким планам, в частности, относятся планы, представленные в табл.3.1, 3.3. В насыщенных планах число опытов превышает число определяемых оценок коэффициентов.

Планы второго порядка бывают композиционные и некомпозиционные.

Композиционные планы используют обычно на заключительных этапах исследования при описании экспериментальной области в ситуациях, когда отсутствует априорная информация о характере зависимости и полиномиальную модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое затем достраивается до полной квадратичной модели. Композиционные планы второго порядка получают путем добавления 2^k "звездных точек" и некоторого числа центральных точек (точек основного уровня) к "ядру", образованному планом ПФЭ типа 2^k или его репликой.