4.1.3. Метод «золотого сечения»

Он занимает промежуточное положение между методами дихотомии и Фибоначчи. Координаты точек берут из следующих соотношений:

Где,

Деление отрезка подобным образом восходит к Евклиду и называется золотым сечением. Далее процедура планирования эксперимента аналогична методу Фибоначчи (см.рис 4.2):

Количество опытов может быть найдено из условия

Из сопоставления 3 методов следует, что самый эффективный - метод Фибоначчи, далее- метод «золотого сечения» (он более прост в расчетах) и метод дихотомии.

2. Многомерные методы поиска

К экспериментальным методам многомерного поиска относятся методы: Гаусса-Зайделя, метод крутого восхождения и симплекс-метод.

4.2.1 Метод Гаусса-Зайделя

В основе метода лежит идея координатного поиска, например, для двухфакторной модели вначале выбирают направление поиска по фактору Х₁. Значение Х₂ - фиксировано. Для поиска экстремума используются одномерные методы. Далее движение начинают вдоль новой координатной оси (рис. 4.3). Когда ни по одной из осей невозможно увеличение Y, поиск прекращается и полученная точка принимается за экстремальную.

Недостаток: при большом числе факторов (k) путь к вершине получается извилистым, что требует большого числа опытов.

Рис. 4.3. Схема поиска экстремума методами Гаусса-Зайделя и кругового восхождения

2. Метод крутого восхождения

(Бокс и Уилсон, 1953г)

Для поиска оптимальных условий достаточно построения линейной модели:

Необходимо найти точку х₁*, х₂*, … , х_k*, в которой целевая функция Y достигает экстремума. Один из кратчайших путей - это движение от данной точки к вершине, в направлении наиболее крутого склона, совпадающего с направлением градиента (см. рис. 4.3). Градиент - это вектор, указывающий наискорейшее изменение функции при переходе из одной точки пространства в другую:

где - частное произведение по j-му фактору, (i, j, k)-орты, совпадающие с направлением осей.

Для линейной модели частные производные равны b₁,b₂, … ,b_k, тогда . Из формулы следует, что для осуществления движения по градиенту вес значения факторов по каждой из осей (i, j, k) необходимо изменять пропорционально величинам коэффициентов b₁,b₂, … ,b_k. Рассмотрим технологию движения по grad для линейной однофакторной модели:

Т.к. , то он равен тангенсу угла наклона между линией регрессии и осью фактора. Тогда катет АВ=∆х₁ b₁.

Обобщение для многофакторной модели делается механически, т.к. все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга. При этом движение по всем осям факторов осуществляется одновременно. Процедура поиска экстремума состоит в следующем: вначале выбирают начальную точку S, в окрестности которой на основе малой серии опытов находят локальное описание поверхности целевой функции с помощью модели линейного типа. Далее находят направление градиента и в этом направлении планируют "мысленные" опыты (см. рис 4.3).

Серия "мысленных опытов" рассчитывается последовательным прибавлением к основным уровням факторов величин, пропорциональных произведению соответствующего коэффициента на интервал варьирования. Потом находит базовый фактор, для которого произведение b_j∆x_j было максимальным пo абсолютной величине, и для него вычисляют базовый шаг: , где ∆х - интервал варьирования.

После этого рассчитывают единичные шаги всех остальных факторов по формуле

и полученное значение округляют.

Все шаги рассчитывают в натуральном масштабе. Полученные таким образом шаги последовательно прибавляют к основным уровням факторов или вычитают из них (в зависимости от знака b_j, и от того, что ищут - максимум или минимум). Для качественных факторов фиксируют лучший уровень, для незначимых факторов стабилизируют на любом уровне в интервале (+1;-1). Обычно рассчитывают до 10 мысленных опытов. Реализацию мысленных опытов начинают с опыта, условия которого выходят из области эксперимента хотя бы по одному из факторов. Обычно проводят 3 - 4 опыта и по их результатам принимают решение о прекращении поиска или дальнейшем проведении эксперимента. Если одного линейного приближения недостаточно, то ставится новая серия мысленных опытов до достижения экстремумов.