4. Поиск оптимальных условий в экспериментальных исследованиях

Оптимальный поиск - одна из основных задач металлургии. Такие задачи возникают

1) при управлении параметрами технологического процесса, когда необходимо достичь максимальной производительности при минимальных затратах;

2) при проектировании штампов и оборудования, когда требуется подобрать такую комбинацию параметров, которая соответствовала бы наивысшему эксплуатационному характеру;

3) при создании новых образцов металлопродукции и сплавов, обладающих наилучшими свойствами (жаропрочность, коррозионная стойкость).

Задача оптимизации ставится таким образом: надо экспериментально найти координаты многомерной точки Х₁^опт, Х₂^опт, ... , Х_k^опт, при которых целевая функция достигает экстремума. При поиске экстремума предполагается, что целевая функция является гладкой, непрерывной и в области исследования имеется единственный экстремум. Пример такой функции для случая 2 факторов - это холм с одной вершиной.

1. Одномерные методы поиска экстремума

Одномерный поиск экстремумов производится только для однофакторных экспериментов, а в ряде случаев и многофакторных. Различают активный и пассивный поиски. При пассивном поиске область исследования разбивают на участки равной длины:

Методом перебора находим Х^опт и Y^опт. При активном поиске выбор значений Х в области исследования зависит от результатов предшествующих опытов. Имеет место накопление и активное использование информации о свойствах целевой функции. Пошаговое проведение опытов более эффективно, т.к. позволяет сократить время и средства.

Наиболее простыми методами являются - дихотомии, «золотого сечения» и Фибоначчи. Идея этих методов заключается в том, что по двум значениям Х₁ , Х₂, симметрично расположенных в области исследования Х_min<X₁<X₂<X_max, можно указать интервал меньше первоначального, в котором находится точка экстремума.

1. Метод дихотомии

Его идея заключается в следующем: на первом этапе экспериментирования относительно центра области исследования размещают две новые точки и проводят эксперимент, затем процедура повторяется на новом отрезке (рис 4.1). Координаты выбирают следующим образом:

где δ-точность измерения.

Координаты экспериментальных точек на последующих этапах исследования определяются по вышеуказанным формулам с учетом новых границ. Длина интервала неопределенности после проведения к-й пары опытов: , где l_N интервал неопределенности, в котором находится точка экстремума. Задаваясь допустимой относительной погрешностью ε локализации точки экстремума, можно найти число наблюдений N, необходимых для обеспечения желаемой точности:

Следует задаваться такой относительной погрешностью, чтобы ошибка была не меньше:

Рис. 4.1. Схема поиска экстремума методом дихотомии

Рис. 4.2. Схема поиска экстремума методами Фибоначчи и «золотого сечения»

4.1.2. Метод Фибоначчи

Он более эффективен, чем дихотомии, так как позволяет сократить число опытов при одинаковой области исследования. Реализация метода связана с последовательностью целых чисел, открытых итальянским математиком Леонардом Фибоначчи (1202г.). В этом методе две новые точки Х₁, Х₂, берут на равном расстоянии от концов области исследования. Исходя из чисел Фибоначчи F_N = 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,55,89, … , которые определяются рекуррентными соотношениями определяются значения

Планирование эксперимента производится следующим образом: вначале определяется необходимое число опытов N, т.к. оно используется при расчете Х₁, Х₂. Для определения N задаются относительной погрешностью ε и абсолютной погрешностью δ. Тогда N находят из соотношения

где l_N - интервал неопределенности,

В каждой очередной интервал неопределенности попадает один предыдущий эксперимент (рис 4.2). Для продолжения поиска новую точку следует располагать симметрично оставшейся.