5.3 Шартсыз экстремумның бар болу шарты

Қарастырылып отырған нүкте экстремум нүктесін білдіретін мәселеден шығатын шарт – қажетті шарт, экстремум нүктесі болып табылатындығынан шығатын шарт – жеткілікті шарт болып есептеледі.

Шартсыз экстремумның бар болуының қажетті және жеткілікті шарттары математикалық анализ курсында қарастырылады. Біз бір және көп айнымалы функция үшін бірінші ретті төңіректік шартсыз экстремумның қажетті шарттары жайында келесі теоремаларды қарастырамыз.

Теорема 5.2. функциясы жиынында берілсін және қандай да бір нүктесінде дифференциалданатын болсын. Егер осы нүктесінде функциясының төңіректік экстремумы бар болса

,

онда

. (5.7)

шегі бағыты бойынша функциясының туындысы деп аталады.

бағыты көбінесе векторымен беріледі.

Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оның осы нүктеде дербес туындылар арқылы өрнектелетін кез келген туындысы бар болады.

Бағыт бойынша туындының абсолют шамасы функцияның осы бағыттағы өзгеру жылдамдығын, ал таңбасы функцияның өзгеру сипатын (өсуін немесе кемуін) көрсетеді.

Координаталық осьтерге түсірілген проекциялары сәйкес дербес туынды болатын векторды функциясының градиенті деп айтамыз, және немесе grad F(X) арқылы белгілейміз, яғни,

.

бағыты мен бағыты бірдей болған кезде максимумға жетеді.

Сонымен, әрбір нүктесінде градиент функцияның ең үлкен өсу бағыты, ал градиент ұзындығы функцияның осы нүктедегі өсуінің ең үлкен жылдамдығы болып табылады.

Теорема 5.3. функциясы кеңістігінде берілсін және қандай да бір нүктесінде дифференциалданатын болсын. Егер осы нүктесінде функциясының төңіректік экстремумы бар болса,

,

онда функциясының осы нүктедегі дербес туындысы нөлге тең, яғни

.

Басқаша айтқанда осы нүктеде функцияның градиенті

нөлдік векторға тең, яғни .

шартын қанағаттандыратын нүктесі функциясының стационар немесе күдікті нүктесі деп аталады.

5.2 және 5.3-теоремаларға сәйкес төңіректік экстремум нүктелерін күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.

5.2-мысал.

функциясының стационар нүктелерін табу керек.

Шығарылуы. Стационар нүктелерді табу үшін алдымен функциясының бірінші дербес туындыларын есептейміз:

, , .

функциясының стационар нүктелерін (5.7) теңдікке сәйкес келесі теңдеулер жүйесінен табамыз:

Бұл жүйенің жалғыз ғана шешімі бар, және ол стационар нүктені анықтайды: . Егер , , болса, онда нүктесі – минимум нүктесі болып табылады, себебі кез келген үшін .

Жауабы. , , болған жағдайда нүктесі – минимум нүктесі болып табылады.

5.3-мысал.

5.2-мысалдың дербес жағдайын қарастырайық. Айталық, , , : .

Шығарылуы. стационар нүктесі берілген функцияның минимум нүктесі де, максимум нүктесі де болмайды. Себебі, нүктелер жиынында – берілген функция өседі, ал нүктелер жиынында берілген функция кемиді. Бұл жағдайда ер нүктесі, ал функциясының графигі ер беті болып табылады.

Жауабы. стационар нүктесі минимум нүктесі де, максимум нүктесі де болмайды.

5.4-мысал.

функциясының стационар нүктелерін табу керек.

Шығарылуы. Функцияның дербес туындыларын табамыз:

, .

Алынған дербес туындыларды нөлге теңестіреміз:

,

.

Жалғыз стационар нүкте бар: және . Берілген есепте функциясы стационар нүктесінде айнымалысы бойынша да, айнымалысы бойынша да өседі. Мұндай стационар нүкте де экстремум нүктесі болмайды, және иілу нүктесі деп аталады.

Жауабы. стационар нүктесі экстремум нүктесі емес.

Қарастырылған мысалдардан келесі қорытындыны алуға болады: егер нүктесі функциясының анықталу облысындағы стационар нүктесі болса, онда ол функциясының экстремум нүктесі дегенді білдірмейді, яғни қажетті шарт жеткілікті шарт болмауы мүмкін. Ер нүктелері және иілу нүктелері стационар нүктелері болып табылады, бірақ экстремум нүктелері болмайды.

ретті квадрат матрицасы және векторы берілсін. матрицасының векторына көбейтіндісі қатынасымен анықталатын векторын береді. Егер болса, онда квадрат матрицасы симметриялы деп аталады.

Егер кез келген векторы үшін және векторларының скаляр көбейтіндісі теріс емес болса, яғни , онда симметриялы матрицасы теріс емес анықталған; егер , болса, онда симметриялы матрицасы оң анықталған; егер болса, онда симметриялы матрицасы оң емес анықталған; егер , болса, онда симметриялы матрицасы теріс анықталған деп аталады.

матрицасының бас диагоналының бойындағы бірдей нөмірлі алғашқы тік жолдар мен жатық жолдарда орналасқан анықтауыштар матрицасының бұрыштық минорлары деп аталады:

, , , ..., .

матрицасының бірдей нөмірлі тік жолдарымен жатық жолдарын сызып тастағанда алынатын, бас диагоналының бойында бірдей нөмірлі тік жолдар мен жатық жолдарда орналасқан, -ші ретті анықтауыштар матрицасының бас минорлары деп аталады.

Сильвестр критерийі:

- егер симметриялы матрицасының барлық бұрыштық минорларының таңбасы оң болса, яғни , , , ..., ( ), онда матрицасы оң анықталған деп аталады;

- егер симметриялы матрицасының -шы бұрыштық минорларының таңбасы таңбасына тең, яғни , , , ... болса, онда матрицасы теріс анықталған деп аталады;

- егер симметриялы матрицасы өзгеше және оның бас минорлары теріс емес болса, яғни , онда матрицасы теріс емес анықталған (жартылай оң анықталған) деп аталады;

- егер симметриялы матрицасының -шы бас минорының мәні не нөлге тең болса, не оның таңбасы таңбасына тең болса, онда матрицасы оң емес анықталған (жартылай теріс анықталған) деп аталады.

түріндегі матрица функциясының Гессе матрицасы деп аталады.

Теорема 5.4. Егер нүктесі – (5.4) ((5.5)) есептің төңіректік шешімі және функциясының осы нүктеде үзіліссіз екінші ретті дербес туындысы бар болса, онда функциясының Гессе матрицасы нүктесінде оң емес (теріс емес) анықталған болып табылады.

5.4-теорема төңіректік шартсыз экстремумның қажетті шартын нақтылайды және екінші ретті төңіректік экстремумның қажетті шартын анықтайды.

Теорема 5.5 (көп айнымалы функция үшін шартсыз экстремумның бар болуының жеткілікті шарттары жайында). Егер нүктесі функциясының стационар нүктесі (яғни ) болып табылса, және функциясының Гессе матрицасы нүктесінде оң анықталған болса, онда – функциясының қатаң төңіректік минимум нүктесі болады; егер нүктесі функциясының стационар нүктесі болса, және функциясының Гессе матрицасы нүктесінде теріс анықталған болса, онда – функциясының қатаң төңіректік максимум нүктесі болады.

Егер Гессе матрицасы анықталған таңбалы болмаса, онда нүктесінде экстремум жоқ.

Теорема 5.6 (екі айнымалы функция үшін шартсыз экстремумның бар болуының жеткілікті шарттары жайында). Айталық, функциясы жиынында берілсін, және нүктеде функциясының екінші ретті туындысы бар және үзіліссіз болатындай стационар нүктесі бар болсын: , .

• Егер нүктесінде

(5.8)

теңсіздігі орындалса, онда

– төңіректік минимум нүктесі;

– төңіректік максимум нүктесі.

• Егер (5.8) өрнек нүктесінде орындалмаса, онда нүктесінде экстремум жоқ.

5.6-теорема 5.5-теореманың дербес жағдайы болып табылады.

5.5-мысал.

5.3-мысалға 5.4-теореманы қолданайық.

Шығарылуы. . Екінші ретті дербес туындыларын табамыз:

, ;

, , .

(5.8) қатынасты тексеретін болсақ,

.

, яғни 5.6-теоремаға сәйкес стационар нүктесі – экстремум нүктесі емес.

Жауабы. стационар нүктесі экстремум нүктесі емес.

Анықтама бойынша, егер барлық жеткілікті кіші үшін теңсіздігі орындалса, жиынында берілген функциясы үшін нүктесінде векторы кему (өсу) бағытын береді. нүктесінде функциясының барлық кему (өсу) бағыттары кему (өсу) бағыттарының жиынын құрайды.

Қатаң экстремумның анықтамасына сәйкес, егер нүктесіндегі функциясының өсу (кему) бағытының жиынында тұтасымен жататын нүктесінің маңайы бар болса, онда нүктесі функциясының минимум (максимум) нүктесі болып табылады.

Теорема 5.7. функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын.

• Егер векторы

шартын қанағаттандырса, онда – нүктесіндегі функциясының кему (өсу) бағытының жиынына тиісті.

- Егер болса, онда

.

6-лекция. Шартты оңтайландырудың классикалық есебі