13.2 Доминациялау принципі

Ұтыс матрицасының өлшемі үлкен болған жағдайда, ер нүктесі жоқ ойынның шешімін табу қиын болады. Кейбір жағдайларда осындай есептерді ойынды редуциялаудың, яғни күрделі матрицадан қарапайым матрицаға келтірудің көмегімен ықшамдауға болады. Редуциялаудың бір тәсілі доминациялау принципін қарастырайық.

Ойын ұтыс матрицасымен берілсін:

.

Егер матрицасының жолдарының екі дөңес комбинациялары

, , , (10.17)

және

, , , (10.18)

үшін

(10.19)

теңсіздігі орындалса, онда (10.18) жол (10.17) жолды доминациялайды, ал (10.17) жол (10.18) жолмен доминацияланады деп айтады.

Егер (10.19) теңсіздіктің әрқайсысы теңдік болса, онда (10.17) жол мен (10.18) жол бірін бірі дубльдейді деп айтады. Екі дубльденетін жолдардың әрқайсысы бір мезгілде доминациялайтын, әрі доминацияланатын жол болып табылады.

Егер (10.19) теңсіздіктің әрқайсысы қатаң теңсіздік болса, онда (10.18) жол (10.17) жолды қатаң доминациялайды, ал (10.17) жол (10.18) жолмен қатаң доминацияланады деп айтады, немесе (10.18) жол (10.17) жолды қатаң доминациялайтын жол, ал (10.17) жол (10.18) жолмен қатаң доминацияланатын жол болып табылады.

Осындай терминология ойыншының сәйкес стратегиялары үшін де пайдаланылады. Егер (10.18) жол (10.17) жолды сәйкес доминацияласа, дубльдесе, қатаң доминацияласа, онда стратегиясы стратегиясын сәйкес доминациялайды, дубльдейді, қатаң доминациялайды.

Егер матрицасының бағандарының екі дөңес комбинациялары

, , , (10.20)

және

, , , (10.21)

үшін

(10.22)

теңсіздігі орындалса, онда (10.20) баған ( стратегия) (10.21) бағанды ( стратегияны) доминациялайды, ал (10.21) баған ( стратегия) (10.20) бағанмен ( стратегиямен) доминацияланады деп айтады.

(10.22) теңсіздіктің әрқайсысы теңдік болса, онда (10.20) және (10.21) бағандар ( және стратегиялар) дубльденетін бағандар (стратегиялар) деп аталады.

(10.22) теңсіздіктің әрқайсысы қатаң теңсіздік болса, онда (10.20) баған ( стратегия) (10.21) бағанды ( стратегияны) қатаң доминациялайды, ал (10.21) баған ( стратегия) (10.20) бағанмен ( стратегиямен) қатаң доминацияланады деп айтады.

Егер ойын матрицасының -шы жолы оның қалған жолдарының қандай да бір дөңес комбинациясымен қатаң емес доминацияланса, онда -шы жолды жазбай тастап кетуге болатыны алынады. Нәтижесінде матрица өлшемі кішірейтіледі. Осындай жағдай ойын матрицасының доминацияланатын бағандарына да қатысты.

Екі дубльденетін таза стратегиялардың біреуін (кез келгенін) жазбай тастап кетуге болады.

10.5-мысал.

Ойын өлшемді ұтыс матрицасымен берілсін:

.

Ойын матрицасын редуциялау керек.

Шығарылуы.

,

мұндағы, (1) – стратегиямен стратегия дубдьденетіндіктен осы стратегиялардың кез келген біреуін жазбай тастап кетеміз ( стратегияны жазған жоқпыз); (2) – стратегия стратегиямен қатаң емес доминацияланады, стратегиясын жазбаймыз; (3) –  стратегия стратегиямен қатаң емес доминацияланады, стратегиясын жазбаймыз; (4) – стратегия стратегияны қатаң доминациялайды, стратегиясын жазбаймыз; (5) – стратегия стратегиямен қатаң доминацияланады, стратегиясын жазбаймыз; (6) – стратегия стратегияны қатаң доминациялайды, стратегиясын жазбаймыз.

Редуциялау нәтижесінде матрицасын алдық.

Жауабы.