3.2 Симплекс әдісінің ерекше жағдайлары

Сызықтық программалау әдістерімен шешу барысында пайда болатын ерекше жағдайларды қарастырайық.

3.2.1 Тиімді шешімнің жалғыз еместігі (балама оптимум)

2.3-мысал.

шектеулеріндегі және , теріс емес шартында сызықтық программалау есебін шығару керек.

Шығарылуы. Шектеулер жүйесін канондық түрге келтіреміз:

Бірінші итерациялық қадам.

1.1. н.а. ;

н.е.а. .

1.2.

1.3. , . Алғашқы базистік шешімді табамыз:

.

1.4. Базистік шешімнің компоненттерінің ішінде теріс элементтер жоқ, яғни ол жарамды.

1.5. мақсат функциясын негізгі емес айнымалылар арқылы өрнектейміз де (мақсат функциядағы екі айнымалы да негізгі емес, сондықтан функция өзгеріссіз қалады), алынған базистік шешімде мақсат функциясының мәнін есептейміз (негізгі емес айнымалылардың мәнін нөлге теңестіреміз):

, , .

1.6. Берілген мысалда сызықтық функцияның максимал мәнін табу керек. Сондықтан, өрнегіне кіретін негізгі емес айнымалылардың екеуі де оң коэффициентті болғандықтан мәні үлкен коэффициентті айнымалы, біздің мысалымызда - арқылы мақсат функциясының мәнін арттырамыз.

1.7. Шешімнің жарамдылығын сақтау үшін барлық айнымалылар теріс емес болуы керек, және негізгі емес айнымалыны деп алып, келесі қатынасты аламыз:

түрінде анықталады.

1.8. болғанда айнымалысы нөлге айналады, және негізгі емес айнымалыға көшеді. Сонымен, бірінші теңдеу – шешуші теңдеу.

Екінші итерациялық қадам.

2.1. н.а. ;

н.е.а. .

2.2.

2.3. Базистік шешім: , .

.

2.4. Базистік шешім жарамды.

2.5.  мақсат функциясын негізгі емес айнымалылар арқылы өрнектеп, осы базистік шешімде функциясының мәнін есептейміз:

, .

, .

2.6. Сызықтық функциядағы айнымалысының коэффициенті оң, яғни тиімділік критерийі орындалмайды. айнымалысының есебінен мақсат функцияның мәнін арттырамыз.

2.7. :

түрінде анықталады.

2.8. болғанда айнымалысы нөлге айналады, және негізгі емес айнымалыға көшеді. Сонымен, екінші теңдеу – шешуші теңдеу.

Үшінші итерациялық қадам.

3.1. н.а. ;

н.е.а. .

3.2.

3.3. , . Базистік шешімді табамыз:

.

3.4. Базистік шешімнің компоненттері теріс емес, яғни базистік шешім жарамды.

3.5. мақсат функциясын негізгі емес айнымалылар арқылы өрнектейміз де, мақсат функциясының мәнін есептейміз:

, .

, .

3.6. Бұл өрнекте оң коэффициентті негізгі емес айнымалы жоқ, демек, тиімділік критерийі орындалады, - тиімді шешім, .

Әйтсе де, соңғы өрнекте негізгі емес айнымалысы жоқ (оның коэффициентін нөлге тең деп қарастыруға болады), сондықтан бұл айнымалының өзгеруі сызықтық функцияның өзгеруіне ешқандай да қатысы болмайды. Мысалы, айнымалысын негізгі айнымалыға көшіруге болады: . айнымалысы негізгі емес айнымалыға көшеді, әйтсе де, сызықтық функция өзгермейді. Расында да, кезектегі қадамда амалдарды орындай отырып жаңа базистік шешімді аламыз. Алынған базистік шешімде де мақсат функцияның мәні . екенін ( базистік шешімді де ол негізгі емес айнымалылардың қатарында қалды), ал айнымалысы теңсіздігін қанағаттандыратынын ескеріп теңдеулер жүйесінен есептің барлық тиімді шешім жиынын алуға болады. Ыңғайлы болу үшін белгілеуін енгізейік, мұндағы . Сонда тиімді шешімдер жиыны: ; ; ; ; .

Жауабы: ; ; ; ; ; , .