6.1 Есептің қойылуы

(5.3), (5.6) шартты оңтайландыру есебін қарастырайық.

Барлық жеткілікті кіші үшін болса, онда анықтама бойынша векторы жарамды мәндер жиынында мүмкін болатын бағытты береді. нүктесіндегі функциясының жарамды мәндер жиынында барлық мүмкін болатын бағыттар мүмкін болатын бағыттар жиынын құрайды.

Теорема 6.1. Егер нүктесі (5.3), (5.6) есебінің төңіректік минимум нүктесі болса, онда

Ø, (6.1)

мұндағы – нүктесіндегі функциясының кему (өсу) бағытының жиыны.

Теорема 6.2 (Вейерштрасс теоремасы). тұйық шектелген жиын, функциясы жиынында анықталған үзіліссіз функция болсын. Сонда функциясының ауқымды минимум (максимум) нүктесі бар болады:

.

6.1 және 6.2-теоремалар экстремум нүктелерді табудың алгоритмін бермейді. Егер функциясының Вейерштрасс теоремасына қосымша бірінші және екінші ретті ақырлы дербес туындысы бар болса, онда жиынының ішкі нүктелерінде мақсат функциясының төңіректік экстремумының бар болуының қажетті және жеткілікті шарттарын алу үшін 5.1 және 5.6-теоремаларды пайдалануға болады, бірақ олар жиынының шекарасында жатырған экстремум нүктелерін анықтамайды. Сондықтан, облысындағы функциясының ауқымды экстремумын табу үшін функциясының барлық төңіректік экстремумының ішкі нүктелерін тауып, сол нүктелердегі функциясының мәндерін есептеп оларды функциясының облыс шекарасындағы мәндерімен салыстыру керек. Олардың ішіндегі ең кішісі (ең үлкені) ізделінді ауқымды мән болып табылады. Егер ішкі стационар нүктелер жоқ болса, онда экстремум мәні тек қана облыс шекарасында болуы мүмкін.

жарамды мәндер жиынының шекарасындағы мақсат функциясының мәндерін есептемеу үшін, ал облысының ішкі нүктелері үшін де, шекарасындағы нүктелер үшін де қажетті және жеткілікті шарттарды қисынға келтіру үшін оңтайландырудың классикалық есебі деп аталатын (5.3), (5.6) есебінің дербес жағдайын қарастырамыз.

нүктесі

, , (6.2)

шектеулер-теңдіктерді қанағаттандыратындай, яғни , функциясының төңіректік экстремум нүктесін табу қажет,

, (6.3)

мұндағы жарамды жиын былайша анықталады:

, (6.3’)

және .

Шартты оңтайландыру теориясында шартты экстремум есебін шартсыз экстремум есебіне келтіретін көптеген әдістер бар. Осындай кеңінен тараған әдістердің біріне келесі қарастырылғалы отырған Лагранждың көбейткіштер әдісі жатады.

6.2 Лагранждың көбейткіштер әдісі

Лагранж әдісінің негізгі идеясы шартсыз төңіректік экстремум нүктесі (6.2)-(6.3) есептің функциясының шартты төңіректік экстремумымен беттесетін Лагранж функциясы деп аталатын көмекші функция құру.

(6.4)

түріндегі функция жоғарыда айтылған қасиеттерді қамтиды, және параметрлері Лагранж көбейткіштері деп аталады. Лагранж функциясын келесі түрде де жазуға болады:

. (6.4’)

Егер және функциялары үзіліссіз және бірінші ретті дербес туындысы бар болса, онда функциясының , координаталары бойынша осы функцияның дербес туындылары келесі түрді қабылдайды:

, (6.5)

және олардан құрылған вектордың белгіленуі:

. (6.6)

функциясының , координаталары бойынша дербес туындылары барлық уақытта бар және

. (6.7)

Теорема 6.3 (Лагранж көбейткіштерінің ережесі, шартсыз оңтайландыру есебінің бірінші ретті экстремумының қажетті шарты). Егер нүктесінің маңайында және функциялары үзіліссіз дифференциалданатындай және нүктесінде Якоби матрицасының рангі -ге тең болатындай (6.2)-(6.3) шартты экстремум есебінің

, және , ,

– тиімді оптимум нүктесі болса, онда нүктесі (6.2)-(6.3) есебіне

(6.8)

сәйкес (6.4) Лагранж функциясының шартсыз экстремум есебінің стационар нүктесі болып табылатындай бір мезгілде нөлге тең емес векторы, параметрі бар болады.

(6.6)-(6.7) туындыларының түрлерін ескере отырып, (6.4) Лагранж функциясының стационар нүктесін келесі шартты қанағаттандыратындай нүкте ретінде анықтауға болады:

, , .

Шартсыз экстремум есебінен өзге Лагранж функциясының стационар нүктесі облысының шекарасында жатуы мүмкін.

Егер параметрлерінің мәні бір мезгілде нөлге тең болса, онда Лагранж функциясын құрудың мағынасы жойылады. Сол сияқты, стационар нүктеде , , – градиенттер жиыны сызықты тәуелсіз болады.

қатынасын қанағаттандыратын шарт (яғни ), регулярлық шарт деп, және – Лагранж функциясы регулярлық функция деп аталады,

.

Регулярлық шарттың кең тарағаны – экстремум нүктесінде матрицасының рангі -ге тең болуы. Бұл – матрицасының жатық жолы сызықты тәуелсіз болғандықтан , функциясының нүктесінде градиенттер жиынының сызықтық тәуелсіздігімен пара-пар. Осы шарт 6.3-теоремада пайдаланылады. Регулярлық шартты экстремум нүктесі табылғаннан кейін ғана тексеруге болады.

, ,

,

теңдеулері функциясының стационарлығының қажетті шартын қанағаттандыратын және векторларын анықтауға мүмкіндік береді. функциясының стационар нүктесі экстремум нүктесі болмауы мүмкін болса, нүктесін экстремумға зерттеу керектігі айқын. Бұл үшін 5.4 және 5.6-теоремалардан өзге функциясының екінші ретті туындысы пайдаланылатын арнайы қажетті және жеткілікті шарттарды пайдалануға болады.

Егер және функциялары үзіліссіз және кем дегенде екінші ретті дербес туындысы бар болса, онда функциясының координаталары бойынша екінші ретті туындыларының матрицасын мына түрде белгілейміз:

.

Сонда Лагранждың регулярлық функциясының Гессе матрицасы көмкеруші матрица болып табылатын ретті блокты матрица түріне келтірілуі мүмкін:

,

мұндағы

және ;

– матрицасына транспонирленген тікбұрышты матрица, – ретті нөлдік квадраттық матрица ( функциясы параметрлерінен сызықты тәуелді болғандықтан).

Теорема 6.4 (оңтайландыру есебінің екінші ретті экстремумының қажетті шарты). Егер нүктесінің маңайында және функциялары екі рет үзіліссіз дифференциалданатындай және матрицасының рангі -ге тең болатындай нүктесі – (6.2)-(6.3) шартты экстремум есебінің төңіректік оптимум нүктесі болса,

және , ,

онда (6.4) Лагранж функциясының стационар нүктесінде

,

шартын қанағаттандыратын барлық нөлдік емес мәндері үшін

теңсіздігі орындалады.

Теорема 6.5 ( координаталары бойынша Лагранж функциясының екінші ретті туындысына қатысты экстремумның жеткілікті шарты). Айталық, жарамды нүктесінде

,

және функциялары екі рет үзіліссіз дифференциалданатын болсын. Егер

(6.9)

үшін

шартын қанағаттандыратын барлық нөлдік емес үшін

, (6.10)

қатаң теңсіздігі орындалатын нөлге тең емес мәні бар болса, онда нүктесі – (6.2)-(6.3) шартты экстремум есебінің төңіректік минимум (максимум) нүктесі болады.

6.1-мысал.

шектеулеріндегі

функциясының шартты экстремум нүктелерін табу керек.

Шығарылуы. Қарастырылып отырған есептің Лагранж функциясын құрамыз:

.

нүктесі функциясының стационар нүктесі болуы үшін экстремумның қажетті шарттары орындалуы керек:

,

,

,

,

.

Жүйенің соңғы екі теңдеуінен мәнін анықтауға болады:

.

, , , .

, , , .

Төмендегідей координаталары бар нүктесі жүйенің стационар нүктесі болып табылады:

, .

.

Табылған нүкте қарастырылып отырған функциясының экстремум нүктесі бола ма?

Алдымен (6.9) шартты қанағаттандыратын векторын табамыз,

,

: , ,

: , .

Сонымен, ізделінді вектордың координаталары: .

функциясының матрицасын есептейміз:

.

матрицасын (6.10) теңсіздігінің сол жағына қоямыз. Алынған векторын ескерсек

,

немесе

.

Сонда стационар нүктесі – минимум нүктесі болып табылады, .

Жауабы. – минимум нүктесі, .

Теорема 6.6 ( Лагранж функциясының Гессе матрицасына қатысты экстремумның жеткілікті шарты). Айталық, (6.2)-(6.3) есебінің теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын нүктесінде

,

және функциялары екі рет үзіліссіз дифференциалданатын болсын. Егер нүктесі Лагранждың регулярлық функциясының

стационар нүктесі болып табылатын Лагранж көбейткіштерінің нөлге тең емес мәндері бар болса, онда нүктесі:

• егер ретті матрицасының бұрыштық минорының таңбасы таңбасымен бірдей болса, ал келесі бұрыштық минорлар таңба ауыспалы қатарды (олардың саны -ге тең) құраса, функциясының максимум нүктесі болып табылады, мұндағы ;

• егер ретті матрицасының бұрыштық минорының таңбасы таңбасымен бірдей болса (олардың саны -ге тең), функциясының минимум нүктесі болып табылады, мұндағы .

6.6-теорема 6.5-теоремаға қарағанда қолдануға ыңғайлы. 6.6 теорема 6.5-теоремадан өзге экстремумның бар болуының қажетті шарты болып табылмайтын жеткілікті шартын анықтайды. Сондықтан, осы шарттарды қанағаттандырмайтын Лагранждың регулярлық функциясының стационар нүктесі экстремаль нүктесі болуы мүмкін.