7.2 Бірөлшемді минимизациялау әдістері

Бір айнымалы функцияны минимизациялау есебі шартсыз минимизациялаудың әр түрлі әдістерінде және сызықтық емес программалау есептерін шығару әдістерінің саласында көмекші есептерді шығару барысында өзекті болып табылады. Мысалы, көпөлшемді оңтайландыру әдістерінің әр түрлі нұсқаларындағы толық қадамды табу кезінде бірөлшемді минимизациялау есебі пайда болады.

Теорема 7.1. функциясы кесіндісінде унимодальды, және болсын. Сонда, егер болса, онда . Егер болса, онда .

Осылайша есептелген мәндерінің негізінде нүктесі жатқан ұзындығы бастапқы кесіндісінің ұзындығынан кіші болатын , яғни кесіндісін көрсетуге болады.

Минимум нүктесі кесіндісінде төңіректелген, ал кесіндісі төңіректеу кесіндісі деп аталады.

, арқылы мәндерін -ші есептеуден кейінгі төңіректеу кесіндісінің ұзындығын белгілейміз, .

7.2.1 Минимумды анықтаудың пассивті әдісі

– натурал сан болсын, нүктелері берілсін. , белгілеуін енгізейік. . Сонда функциясының унимодальдылығы бойынша, егер болса, онда кесіндісі, болса – кесіндісі, болса – кесіндісі төңіректеу кесіндісі болады. Көбінесе мәнінің жуықтауы ретінде не , не алынған төңіректеу кесіндісінің ортасы таңдалынады.

түйіндері бірдей қашықтықта орналасқан жағдайда осы әдісті қолданған ыңғайлы болады, яғни , мұндағы табуляциялау қадамы. Бұл жағдайда талап етілетін дәлдікке (алынған төңіректеу кесіндісінің ұзындығы) жететіндей мәнін есептеу оңай болады.

Сонымен, пассивті әдісте табуляция нүктесі – саны алдын ала анықталады және функцияның мәні барлық нүктеде есептеледі. Әрбір ағымдық нүктедегі есептелген функцияның мәні келесі есептеулерге әсер етпейді.

Егер жұп болса, яғни , , онда , нүктелерін бірдей қашықтықтағы -жұбы бойынша бөлу арқылы осы нүктелерді ең тиімді (төңіректеу кесіндісін максималды түрде кішірейту мағынасында) орналастыруға болады, яғни

, , , (8.1)

мұндағы – қандай да бір кіші оң сан.

Бұл жерде

.

Егер тақ болса, яғни , , онда нүктелерді бірқалыпты орналастыру ең жақсысы болып табылады, яғни

, _. (8.2)

Бұл жерде .

Іздеудің пассивті әдісінде тақ санды нүктелерді пайдаланған тиімді емес.

, нүктелерін анықтағаннан кейін функцияларының мәндері есептелінеді. болсын. Сонда, , деп ұсына отырып, қорытынды төңіректеу кесіндісі анықталады. нүктесі минимум нүктесінің аппроксимациясы (бағалауы) ретінде, функцияның мәні бағалауы ретінде қабылданады, яғни

, .

8.1-мысал.

, мәндерінде кесіндісінде берілген функциясының минимумын пассивті әдіспен анықтау керек.

Шығарылуы. – нүктелер саны жұп болғандықтан , нүктелер жұбын (8.1) формуласының көмегімен есептейміз.

, , (а)

, . (ә)

, , мәндері (а) формуласымен, , , мәндері (ә) формуласымен анықталады. Есептеулерді кестеде берген ыңғайлы:

1	0,45	2,67
2	0,55	2,37
3	0,95	2,0026
4	1,05	2,0024
5	1,45	2,14
6	1,55	2,20

мәндерінің арасындағы ең кішісі болғандықтан, , , .

Жауабы: , , .