Лекция 6 Теплоёмкость

Выражением (31) для определения теплоты, подведённой или отведённой в термодинамическом процессе, трудно воспользоваться, т.к. для вычисления интеграла надо знать зависимость температуры от энтропии . Вид этой зависимости для реального протекающего процесса получить сложно, т.к. энтропия экспериментально не определяется. Выражение (31) предназначено как раз для определения изменения энтропии в процессе. На практике теплоту в термодинамическом процессе находят с использованием теплоёмкости.

Различают два вида теплоёмкости - среднюю теплоёмкость и истинную теплоёмкость.

Средняя теплоёмкость - это количество тепла, которым система должна обменяться с окружающей средой для того, чтобы температура системы изменилась на один градус. Средняя теплоёмкость всегда рассматривается на каком – то интервале температур. Средняя теплоёмкость на интервале температур от T₁ до Т₂ определяется выражением

,

(52)

где Q – теплота, которой система при протекании процесса обменялась с окружающей средой;

- изменение температуры системы в этом процессе ( ).

Истинная теплоемкость определяется как теплоёмкость системы при данной температуре. Для определения истинной теплоемкости при рассматриваемой температуре к системе подводят бесконечно малое количество тепла, при этом температура системы изменяется на бесконечно малую величину

,

(53)

Графически на диаграмме Q-T средняя теплоёмкость определяется как тангенс угла наклона хорды, пересекающей график процесса в точках начала и конца процесса, и истинная теплоёмкость определяется как тангенс угла наклона касательной к графику процесса в интересующей точке.

На рис. 17 изображён в Q-T диаграмме процесс нагрева (подвода тепла) к системе от её начальной температуре Т₀. Для того, чтобы от температуры Т₀ достичь состояния точи 1 с температурой Т₁, необходимо подвести количество тепла Q₁, а для достижения температуры Т₂ надо подвести теплоту в количестве Q₂. Тогда Q_1-2 – это количество тепла, которое надо подвести с системе, чтобы изменить её температуру от Т₁ до Т₂. Из графика видно, что тангенс угла наклона хорды, соединяющей точки 1 и 2, равен отношению Q_1-2 к

. В то же время, это отношение, в силу (52), равно средней теплоёмкости .

.

Исходя из геометрического смысла производной, производная функции, отражающей зависимость теплоты от температуры, при температуре Т₁ равна тангенсу угла наклона касательной, построенной к графику этой функции в точке 1. В то же время, эта производная, в силу (53), равно истинной теплоёмкости С при температуре Т₁.

.

Рис. 17

Теплоемкость в системе зависит от количества вещества в системе. Чем больше вещества в системе, тем больше количества теплоты можно подвести к системе или отвести от неё, чтобы изменить температуру на 1⁰С. Для явного выражения этой зависимости в рассмотрения вводят понятие удельной теплоемкость.

Удельная теплоемкость - это количество теплоты, которым должна обменяться с окружающей средой единица количества вещества для изменения её температуры на один градус. Количество вещества может быть представлено разными величинами в виде массой, объемом, и собственно количеством вещества. В соответствии с этим различают три вида удельной теплоемкости.

1. Удельная массовая теплоемкость (с)- это количество теплоты, которым должен обменяться с окружающей средой один килограмм вещества системы для изменения его температуры на один градус. Единица измерения удельной массовой теплоемкости - .Средняя удельная массовая теплоемкость определяется выражением

.

(54)

2. Удельная объёмная теплоемкость ( )- это количество теплоты, которым должен обменяться с окружающей средой один кубический метр вещества системы для изменения его температуры на один градус. Единица измерения удельной объёмной теплоемкости - .Средняя удельная объёмная теплоемкость определяется выражением

.

(55)

3. Удельная молярная (мольная) теплоемкость ( )- это количество теплоты, которым должен обменяться с окружающей средой один моль вещества системы для изменения его температуры на один градус. Единица измерения удельной молярной теплоемкости - .Средняя удельная молярная теплоемкость определяется выражением

.

(56)

где n – количество вещества в системе, выраженное в молях.

Между этими разновидностями удельной теплоёмкости существует связь. В выражении (54) массу можно представить как произведение плотности и объёма.

.

Перенося плотность в левую часть равенства, и учитывая выражение (55), получим связь между удельной массовой и удельной объёмной теплоёмкостями

.

(57)

С другой стороны, массу можно представить как произведение числа молей и молярной массы. Тогда выражение (54) примет вид

.

Перенося молярную массу в левую часть равенства, получим связь между массовой и молярной удельными теплоёмкостями.

.

(58)

Теплоёмкости можно классифицировать по типу процесса, в котором участвует система.

Выделяют четыре основных термодинамических процесса: изохорный, протекающий при постоянном объёме ( ); изобарный, протекающий при постоянном давлении ( ); изотермический, протекающий при постоянной температуре ( ), и

адиабатный процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой ( ).

В соответствии с этим различают такие теплоёмкости, как изохорная теплоёмкость , изобарная , изотермическая и адиабатная (при отсутствии теплообмена энтропия системы не изменяется, поэтому адиабатный процесс иногда называют изоэнтропным). Последние две теплоёмкости (изотермическая и адиабатная) не представляют интереса, так как (в изотермическом процессе температура не изменяется, поэтому разность температур в выражении (52) равна нулю, а само выражение становится бесконечно большой величиной), а (т.к. в выражении (52) ). Таким образом, наиболее часто встречающимися в расчётах теплоёмкостями являются изохорная и изобарная.

Совместная классификация теплоёмкостей по типу процесса и по единице количества вещества, с которым теплоемкость соотносится, дает 6 видов теплоемкостей.

1. Удельная массовая изобарная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один килограмм вещества системы в изобарном процессе для изменения его температуры на один градус.

2. Удельная массовая изохорная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один килограмм вещества системы в изохорном процессе для изменения его температуры на один градус.

3. Удельная объёмная изобарная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один кубический метр вещества системы в изобарном процессе для изменения его температуры на один градус.

4. Удельная объёмная изохорная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один кубический метр вещества системы в изохорном процессе для изменения его температуры на один градус.

5. Удельная молярная изобарная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один моль вещества системы в изобарном процессе для изменения его температуры на один градус.

6. Удельная молярная изохорная теплоёмкость ( ) - это количество тепла, которым должен обменяться с окружающей средой один моль вещества системы в изохорном процессе для изменения его температуры на один градус.

Эти основные виды средних теплоёмкостей экспериментально определяют для различных температур и различных веществ. В этом случае при измерении теплоёмкости нагрев вещества осуществляют от до заданной температуры. Тогда выражение (52) преобразуется к виду

,

(59)

(маленькая t означает, что в этом выражении температура определяется по шкале Цельсия). Результаты измерений сводят в таблицы. В итоге получаются таблично заданные функции средних удельных теплоёмкостей на интервале от до некоторой температуры. Дискретным аргументом этих функций выступает температура, являющаяся верхней границей рассматриваемого интервала температур.

Для определения средней теплоёмкости на произвольном интервале температур от t₁ до t₂ используют выражение (52) в виде

,

(60)

где - это теплота, подведённая к системе для изменения её температуры от t₁ до t₂.

С другой стороны, как видно из рис. 17,

,

(61 )

где и - это теплоты, которые нужно подвести к системе для изменении её температуры сначала от до t₁, а затем от до t₂.

Теплоты и определяются с использованием выражения (59)

,	(62)
,	(63)

Подставляя (62) и (63) в (61), а полученное выражение в (60), получим, что

.

Отсюда вытекает выражение для средней теплоёмкости на интервале температур от t₁ до t₂

.

(64)

Теплоёмкости и определяются по таблицам.