3.4. Применение уравнения Бернулли
С помощью уравнения Бернулли можно рассчитать любой участок неразветвлённого трубопровода. Как правило, основной задачей расчёта является определение напора на входе в трубопровод или участок трубопровода при заданном давлении или скорости потока жидкости на выходе. При применении уравнения Бернулли следует придерживаться следующего порядка действий:
- выбирают плоскость сравнения с привязкой геометрическими высотами к предполагаемым сечениям. Плоскость сравнения выбирают только горизонтально. Для удобства составления уравнения плоскость выбирают так, чтобы геометрические высоты были положительны (геометрические высоты, отложенные вниз от плоскости сравнения, в уравнение 3.8 подставляются со знаком «–»);
- выбирают два сечения, для которых и составляют уравнение Бернулли. Так как уравнение может содержать много неизвестных, сечения выбирают таким образом, чтобы исключить некоторые неизвестные составляющие, и включить в уравнение максимальное количество известных.
Сечения выбирают по ходу движения жидкости горизонтально или вертикально. При горизонтальном выборе сечения составляющие уравнения Бернулли могут быть определены в любой точке сечения, при вертикальном - только в центре тяжести сечения. При этом учитывают, что:
- выбор сечения по свободной поверхности жидкости исключает среднюю скорость потока (V ≈ 0, рис. 3,8, а);
- выбор сечения на выходе из трубопровода (рис. 3.8, б) определяет давление как атмосферное, скорость находят из уравнения расхода;
- выбор сечения в месте подключения манометра или пъезометра определяет манометрическое давление или высоту столба жидкости в пъезометре (рис. 3.8, в), скорость находят также из уравнения расхода.
а) б) в)
Рис. 3.8. Схема к выбору сечений
При составлении уравнения Бернулли необходимо помнить, что:
- потери напора hпот всегда стоят в правой части уравнения со знаком «+»;
- давление в левой и правой части уравнения должно быть в одной системе отсчёта – избыточным (вакуумметрическим) или абсолютным;
- вакуумметрическое давление стоит со знаком «–».
При расчётах гидравлических систем уравнение Бернулли (3.8) применяют вместе с уравнением неразрывности потока (3.3).
3.5. Измерение скорости потока и расхода жидкости
Рассмотрим применение уравнения Бернулли для измерения скорости потока с помощью таких несложных приборов, как трубка Пито – Прандтля, расходомер Вентури.
Для определения скорости безнапорного потока (например, в канале) используют трубку Пито, которая представляет собой изогнутую под прямым углом трубку небольшого диаметра, устанавливаемую в потоке открытым нижним концом навстречу движению жидкости (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Трубка Пито
Плоскость
сравнения 0
– 0
расположим по оси горизонтальной части
трубки. Выберем сечение 1
– 1
на некотором расстоянии от трубки, и
сечение 2
– 2
на входе в трубку. Геометрические высоты
центра тяжести сечений z1
и z2
равны нулю. В центре тяжести сечения 1
– 1
жидкость обладает кинетической энергией
и потенциальной
за счёт высоты столба жидкости h1,
где р
– гидростатическое давление.
При попадании частиц жидкости в трубку их скорость становится равной нулю, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и жидкость в трубке поднимется над свободной поверхностью на высоту h2, равной скоростному напору. В центре тяжести сечения 2 – 2 жидкость обладает потенциальной энергией высоты столба жидкости h1, и потенциальной энергией, равной кинетической. Составим уравнение Бернулли без учёта потерь напора hпот:
,
откуда
.
Скорость
движения жидкости
. В действительности скорость будет
несколько меньше, так как вычисления
были произведены без учёта потерь
напора. Для определения действительной
скорости потери напора учитывают
коэффициентом скорости φ,
который определяют экспериментально.
С учётом коэффициента:
,
(3.9)
где h – высота столба жидкости в трубке над уровнем свободной поверхности.
Давление в трубке на уровне свободной поверхности создано за счёт кинетической энергии потока жидкости:
,
откуда
,
(3.10)
где рд – гидродинамическое давление.
Давление жидкости, создаваемое скоростным напором, называется гидродинамическим давлением.
Для определения скорости напорного потока рассмотрим применение трубки Пито – Прандтля, которая представляет собой совмещённые в один прибор трубку Пито и обычный пъезометр (рис. 3.10). Высота столба жидкости в трубке Пито образована за счёт гидростатического и гидродинамического давления, в пъезометре – только гидростатического.
Рис. 3.10. Трубка Пито - Прандтля
Разность уровней жидкости в трубках ∆h даёт значение скоростного напора , откуда и определяется скорость потока с учётом поправочного коэффициента скорости φ:
.
(3.11)
Расходомер Вентури представляет собой плавно сужающуюся и расширяющуюся цилиндрическую вставку устанавливаемой в трубе (рис. 3.11). В расширенной и в суженной частях расходомера установлены пъезометры.
Рис. 3.11. Расходомер Вентури
Составим уравнение Бернулли относительно плоскости сравнения, совпадающей с осью расходомера. Сечения выберем в местах подключений пъезометров. Так как центр тяжести сечений лежит в плоскости сравнения, геометрические высоты z1 и z2 равны нулю.
Для идеальной жидкости без учёта потерь напора hпот уравнение Бернулли примет вид:
,
,
откуда
.
(3.12)
Из уравнения неразрывности потока:
,
откуда
.
(3.13)
Подставим значение скорости V2 из уравнения (3.11) в уравнение (3.12):
,
откуда
.
Так как скорость V1 – это скорость потока идеальной жидкости, то расход, определённый с этой скоростью, будет теоретическим:
,
,
где Ст – теоретическая постоянная расходомера.
Действительный расход жидкости:
,
(3.14)
,
где С – действительная постоянная расходомера;
k – коэффициент, который учитывает потери напора при движении жидкости в расходомере, определяется опытным путём.