2.2. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объёма жидкости.

Пусть на свободную поверхность жидкости, находящуюся в сосуде, действует давление р₀ (рис. 2.3). Свободная поверхность – это поверхность жидкости, которая граничит с газовой средой. Все точки такой поверхности испытывают одинаковое внешнее давление. В данном случае поверхность горизонтальна, поскольку жидкость находится в состоянии покоя, и на неё действует только сила тяжести.

Рис 2.3. Схема для вывода основного уравнения гидростатики:

p₀ - давление, действующее по свободной поверхности жидкости;

p - давление, действующее в т. А; P₀ - сила давления, действующая на верхнее основание прямоугольника; h, z и z₀ - геометрические высоты

Определим давление р в произвольно выбранной точке А, которая находится на глубине h. Для этого методом сечений выделим в жидкости прямоугольник с основанием dS, причём высота прямоугольника h совпадает с глубиной погружения точки А. На этот прямоугольник будут действовать следующие поверхностные и массовые силы:

- силы, заменяющие действие отброшенной жидкости, причём силы давления на боковые поверхности прямоугольника будут уравновешивать друг друга и на дальнейшие рассуждения никакого влияния оказывать не будут. Остаётся только сила давления Р жидкости на нижнее основание прямоугольника, направленная по нормали вверх:

;

- сила давления Р₀, действующая на верхнее основание прямоугольника:

;

- сила тяжести G жидкости в объёме выделенного прямоугольника:

.

Запишем сумму сил, действующих на выделенный объём в проекции только на вертикальную ось, поскольку сумма проекций сил на горизонтальную ось равна нулю:

.

После сокращения выражения на dS и перегруппировки членов уравнения, получим:

(2.2)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики, оно позволяет вычислить давление в любой точке покоящейся жидкости.

Из уравнения (2.2) видно, что давление р₀, действующее на свободной поверхности жидкости, будет передаваться в любую точку внутри жидкости по всем направлениям одинаково (последнее утверждение вытекает из свойства гидростатического давления). Это позволяет сформулировать закон Паскаля: давление, приложенное к жидкости, передаётся внутри жидкости по всем направлениям без изменения.

Величину ρhg называют весовым давлением, т.к. она равна весу столба жидкости при единичной площади основания и высоте h.

Основное уравнение гидростатики можно записать иначе. Определим давление р в точке А на уровне высоты z относительно некоторой плоскости 0 - 0 (рис. 2.3). Плоскость 0 – 0 называют плоскостью сравнения. Подставив в уравнение (2.2) значение высоты h = z₀ – z, получим:

.

После несложных преобразований получим основное уравнение гидростатики для двух точек одного и того же объёма покоящейся жидкости (одна точка находится на высоте z₀ от плоскости сравнения, другая – на высоте z):

. (2.3)

Поскольку точка A взята произвольно, то можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объёма жидкости (для любой точки в этом объёме):

. (2.4)

Таким образом, согласно формуле (2.2) в покоящейся жидкости в точке, находящейся на глубине h под свободной поверхностью, давление равно сумме внешнего давления р₀, действующего на свободную поверхность жидкости, и весового давления ρhg.

Уравнение (2.4) является полной удельной (то есть отнесённой к единице веса) потенциальной энергией жидкости, где:

– удельная потенциальная энергия положения;

– удельная потенциальная энергия давления.

Все члены уравнения (2.3) имеют линейную размерность:

= м; = = м.

Давление, действующее по свободной поверхности жидкости, неизменно в любой её точке. Соответственно, давление в любой плоскости, проведённой параллельно свободной поверхности жидкости, будет также неизменно.

Поверхность, в любой точке которой давление неизменно (p = const), называется поверхностью равных давлений, или поверхностью уровня.