6.8. Примеры решения задач

Для сложного трубопровода, состоящего из n-го количества участков, справедливы следующие равенства:

- для последовательного соединения трубопровода (6.5)

- для параллельного соединения трубопроводов (6.6)

На равенствах (6.5) и (6.6) основан способ определения параметров сложного трубопровода - напора, расхода и геометрических параметров трубопровода. Неизвестные параметры трубопровода могут быть определены аналитически или графоаналитически, построением характеристики сложного трубопровода. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

- представить сложный трубопровод в виде соединения простых участков;

- для каждого простого участка составить уравнение потребного напора (6.4) или гидравлическую характеристику трубопровода (6.5)

,

.

С достаточной точностью можно принять:

- для ламинарного режима

, m = 1, ,

где L_экв – длина, эквивалентная всем местным гидравлическим сопротивлениям в трубопроводе;

- для турбулентного режима

, m = 2.

При аналитическом определении неизвестных параметров трубопровода составляют систему уравнений, где количество неизвестных не превышает количество уравнений, например, система уравнений для разветвлённого трубопровода (6.8).

При графоаналитическом определении неизвестных параметров необходимо построить характеристику сложного трубопровода. Для этого необходимо:

- рассчитать и построить характеристики каждого простого участка трубопровода;

- провести графическое сложение характеристик последовательных участков по оси расхода, или сложение характеристик параллельных участков по оси напора (оси ординат).

Для разветвлённого трубопровода сложение характеристик проводят по правилу сложения характеристик параллельного трубопровода.

Задачи на расчёт простого трубопровода можно разбить на три типа:

Первый тип. Даны:

- расход жидкости Q в трубопроводе;

- все геометрические размеры (длина L, диаметр d и геометрическая высота h);

- эквивалентная шероховатость труб ∆_Э;

- давление или напор в конечном сечении (для всасывающих трубопроводов - в начальном);

- параметры жидкости (плотность ρ и кинематическая вязкость ν).

Местные сопротивления либо заданы коэффициентами ζ_м или эквивалентными длинами L_экв, либо оцениваются по справочным данным.

Требуется найти потребный напор Н_потр.

В этом случае задачу решают в следующей последовательности:

- по известным значениям Q, d и ν находят число Рейнольдса Rе и определяют режим течения жидкости;

- при ламинарном режиме течения искомый напор определяют по формуле (6.4), где коэффициент K определяют по формуле для ламинарного режима;

- при турбулентном режиме задачу решают по той же формуле (6.4), где коэффициент K определяют по формуле для турбулентного режима. Коэффициент λ определяют по соответствующим формулам (4.6), (4.7) или (4.8) в зависимости от соотношения толщины вязкого подслоя потока δ и размера эквивалентной шероховатости ∆_Э.

Второй тип. Даны: напор Н_расп, который будем называть располагаемым, так как он известен, и все величины, перечисленные в первом типе задач, кроме расхода Q. Так как число Рейнольдса в данной задаче определить нельзя, то необходимо выразить расход Q через критическое число Рейнольдса Rе = 2300 и определить Н_кр, соответствующее смене режима. Сравнив Н_кр и Н_расп, можно легко определить режим течения.

При ламинарном режиме задача решается просто, как и в задаче первого типа. При турбулентном режиме задача решается по формулам (6.3) и (6.4).

В уравнении (6.4) содержатся два неизвестных - расход Q и коэффициент λ_т, зависящие от числа Рейнольдса. Для решения задачи задают значение коэффициента λ_т с учётом шероховатости и определяют его по формуле Альтшуля при Rе → :

.

Значение коэффициента λ_т изменяется в небольших пределах (λ_т = 0,015 … 0,045).

Затем, решая уравнение (6.4), находят расход Q в первом приближении. По найденному расходу Q определяют Rе в первом приближении, а по Rе – уже более точное значение λ_т. Обычно бывает достаточно второго приближения.

Для решения этой же задачи графическим способом строят кривую потребного (располагаемого) напора для данного трубопровода с учётом переменности λ_т, то есть для ряда значений Q подсчитывают V, Rе, λ_т и Н_потр. Затем, построив кривую Н_потр = f(Q), и зная ординату Н_потр = Н_расп, находят соответствующую ей абсциссу, то есть находят расход Q.

Третий тип. Даны: расход Q, располагаемый напор Н_расп, и все величины, перечисленные ранее, кроме диаметра трубопровода d, который и нужно определить.

Так как число Рейнольдса определить нельзя, то выражают диаметр через критическое число Рейнольдса Rе = 2300 и определяют Н_кр, соответствующее смене режима движения жидкости. Сравнивая Н_кр и Н_расп, определяют режим течения.

При ламинарном режиме задача решается просто по соответствующим формулам.

При турбулентном режиме задачу решают графически. При этом задаются рядом значений диаметра d, по которым подсчитывают Н_потр. Затем строят график Н_потр= f(d) и по нему, зная Н_расп, определяют диаметр d.

Задача 6.8.1. На рисунке показан всасывающий трубопровод гидросистемы. Длина трубопровода L = 1 м, диаметр d = 20 мм, расход жидкости Q = 0,314 л/с, абсолютное давление воздуха на свободной поверхности жидкости в баке р₀ = 100 кПа, высота h = 1 м, плотность жидкости (масло индустриальное при 25°С) ρ = 900 кг/м³. Коэффициент сопротивления поворота ζ_пов = 0,42.

Определить абсолютное давление перед входом в насос при температуре рабочей жидкости t₁ = 25°С (ν = 0,2·10^-4 м²/с). Определить, как изменится искомое давление в зимнее время, когда при этом же расходе температура жидкости упадет до t₂ = –35°С (ν = 10·10^-4 м²/с).

Рис. 6.16. Схема к задаче 6.8.1

Определим скорость течения жидкости в трубе V₂ из уравнения расхода (3.2):

= 1 м/с.

Определим число Рейнольдса (3.15):

= 1000.

Режим движения жидкости ламинарный (Re < 2300, α = 2), поэтому потери по длине h_дл определим по формуле Пуазейля (4.5):

= 0,163 м.

Потери в местных сопротивлениях определим по формуле Вейсбаха (4.10). Для местных потерь напора при втекании в бак (внезапное сужение ζ_вс = 0,5, так как ), и на повороте:

= 0,047 м.

Общие потери напора

= 0,21 м.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2, проведя плоскость сравнения 0 - 0 по оси горизонтального участка трубы, откуда выразим абсолютное давление р₂ перед входом в насос:

, откуда

= 106,07 кПа.

Подсчитаем потери по длине при t₂ = –35°С:

= 8,16 м.

Общие потери напора = 8,21 м.

Тогда искомое давление при при t₂ = –35°С:

= 28,54 кПа.

Давление на входе в сечении 2 – 2 ниже атмосферного на давление вакуума р_вак = р₂ – р_ат = 28540 – 100000 = 71,46 кПа.

Задача 6.8.2. По трубопроводу диаметром d = 10 мм и длиной L = 10 м подаётся жидкость вязкостью ν = 0,0001 м²/с под действием перепада давления ∆р = 4 МПа, плотность жидкости ρ = 1000 кг/м³. Определить режим течения жидкости в трубопроводе.

Определим расход жидкости в трубопроводе. Поскольку потери в трубопроводе будут равны разности пъезометрических высот, то с учётом формулы Пуазейля (4.5):

, откуда

= 0,98 л/с.

Теперь определим критический расход Q_кр при критическом значении числа Рейнольдса Rе = 2300:

, откуда

= 1,8 л/с.

Поскольку Q < Q_кр, значит, режим течения жидкости - ламинарный.

Задача 6.8.3. Определить потребный напор Н_потр, который необходимо создать в сечении 0 – 0 для подачи в бак воды плотностью ρ = 1000 кг/м³ и вязкостью ν = 0,0157 Cт, если длина трубопровода L = 80 м, его диаметр d = 50 мм, расход жидкости Q = 15 л/с, высота h = 30 м, избыточное давление в баке р₀ = 0,2 МПа, коэффициент сопротивления крана ζ_кр = 5, поворота ζ_пов = 0,8, эквивалентная шероховатость внутренних стенок трубы ∆_Э = 0,04 мм. Внутреннюю поверхность трубы считать гидравлически шероховатой.

Рис. 6.17. Схема к задаче 6.8.3

Составим уравнение Бернулли для сечений 0 – 0 и 1 – 1 относительно плоскости сравнения, совпадающего с сечением 0 – 0:

,

,

.

Определим число Рейнольдса, воспользовавшись уравнениями (3.15) и (3.2):

= 243420.

Поскольку режим течения турбулентный (α₀ = 1), то потери напора по длине определим по формуле Дарси – Вейсбаха (4.3):

.

Для определения потерь напора по длине определим скорость V₀ течения жидкости и коэффициент гидравлического трения λ:

- скорость течения жидкости = 7,64 м/с;

- коэффициент λ по формуле Альтшуля (4.7)

= 0,02.

Тогда потери по длине = 95,3 м.

Местные потери напора (с учетом внезапного расширения ζ_р = 1) будут равны:

= 27,4 м.

Общие потери напора

= 122,7 м.

Тогда потребный напор равен:

= 220 м.

Избыточное давление, необходимое для создания Н_потр = 220 м, будет равно:

= 2,165 МПа.

Задача 6.8.4. Определить расход Q в трубе для подачи воды (вязкость ν = 0,01 Ст, плотность ρ = 1000 кг/м³) на высоту h = 16,5 м, если диаметр трубы d = 10 мм, длина L = 20 м, располагаемый напор в сечении 1 – 1 трубы перед краном Н_расп = 20 м, коэффициент сопротивления крана ζ_кр = 4, поворота ζ_пов = 1. Трубу считать гидравлически гладкой.

Рис. 6.18. Схема к задаче 6.8.4

Уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей с горизонтальной осью трубы:

, или

.

Располагаемый напор Н_расп будет равен:

,

.

Выразим скорость V₁ через расход Q из уравнения расхода и подставим в скоростной напор . Тогда:

.

Гидростатический напор в данном случае равен геометрической высоте h (Н_ст = h). Потери напора

,

=

=

.

С учётом уравнения для определения располагаемого напора можно записать:

=

.

Предположим, что режим движения жидкости - турбулентный (α = 1, m = 2). Тогда в этом уравнении два неизвестных - Q и λ_т, взаимосвязь между которыми определяется зависимостью:

;

;

.

Решим задачу методом последовательных приближений, задаваясь значениями коэффициента λ_т (λ_т находится в пределах 0,015 … 0,045). Пусть λ_т = 0,03. Тогда, выразив число Рейнольдса Rе из формулы Блазиуса (4.6) для гидравлически гладких труб, получим:

.

Предположение о турбулентном режиме движении жидкости верно. Определим скорость V₁ и расход Q при Rе = 12310 (λ_т = 0,03):

= 1,23 м/с,

= 0,096· м³/с.

Тогда:

= 4,96 м,

что не соответствует разности = 3,5 м.

Примем значение λ_т = 0,032. Тогда:

Rе = 9509; V₁ = 0,95 м/с; Q = 0,075· м³/с,

= 3,21≠ 3,5 м.

Примем значение λ_т = 0,0316. Тогда:

Rе = 10 000; V₁ = 1 м/с; Q = 0,078· м³/с,

,

что соответствует = 3,5 м.

Итак, методом последовательных приближений значение расхода

Q = 0,078· м³/с.

Решим эту же задачу графическим методом. Для этого построим зависимость Н_расп = f(Q). Выберем ряд значений для расхода Q. Уравнение располагаемого напора представим в виде:

,

.

Результаты расчётов сведём в таблицу 4.

Таблица 4

Значения параметров для построения графической зависимости Н_расп = f(Q)

Q, , м3/с	, м/с			, м
0,05	0,64	6400	0,035	18
0,07	0,89	8900	0,0325	19,34
0,09	1,14	11400	0,03	20,86
0,11	1,40	14000	0,029	22,8
0,13	1,65	16500	0,0278	25
0,15	1,91	19100	0,0269	27,5

Рис. 6.19. Графическая зависимость Н_расп = f(Q)

Из построенного графика видно, что при располагаемом напоре Н_расп = 20 м расход жидкости составит Q = 0,078 л/с, что соответствует определению расхода методом подбора.

Задача 6.8.5. При каком диаметре трубопровода подача насоса составит Q = 1 л/с, если на выходе из него располагаемый напор Н_расп = 9,6 м, длина трубопровода L = 10 м, эквивалентная шероховатость ∆_Э = 0,05 мм, избыточное давление в баке р₁ = 30 кПа, высота h = 4 м, вязкость жидкости ν = 0,015 Ст ( м²/с), плотность ρ = 1000 кг/м³. Местными гидравлическими сопротивлениями в трубопроводе пренебречь. Учесть потери при входе в бак.

Рис. 6.20. Схема к задаче 6.8.5

Составим уравнение Бернулли для сечений 0 – 0 и 1 – 1 относительно плоскости сравнения, совпадающей с сечением 0 – 0:

, где

- потери напора ;

- коэффициент потерь = 1, так как S₂ S₁;

- располагаемый напор ;

- статический напор = 7 м.

Уравнение Бернулли примет вид:

.

Выразим скорость V₀ течения жидкости через расход Q:

, тогда

,

= 2,6 м.

Определим режим течения жидкости. Для этого определим диаметр d трубопровода при Rе = 2300. Воспользовавшись формулой Пуазейля (4.5), сравним получаемую разность напоров с заданной Н_расп – Н_ст:

= 0,37 м,

м 2,6 м.

Режим течения, определяемый расходом Q =1 л/с, будет турбулентным (α₀ = 1). Тогда потери напора определим по формуле:

= 2,6 м,

.

Решим задачу графически. Для этого, задаваясь значениями диаметра d, определим разность напоров Н_расп – Н_ст по уравнению:

.

Таблица 5

Значения параметров для построения графической зависимости

Н_расп – Н_ст = f(d)

d, мм
10	85000	0,03	248,1
15	56600	0,0285	31
20	42500	0,0278	7,66
25	34000	0,0276	2,36
30	28300	0,0277	0,95
35	24290	0,028	0,45

Для более точного построения графика зададим дополнительные значения диаметра d в пределах 21 … 24 мм.

d, мм
21	40440	0,0277	5,7
22	38636	0,02772	4,4
23	36956	0,02768	3,6
24	35386	0,02767	2,9

По полученным данным построим график Н_расп – Н_ст = f(d):

Рис. 6.21. График зависимости Н_расп – Н_ст = f(d)

При Н_расп – Н_ст = 2,6 м диаметр трубопровода d = 24,5 мм.

Задача 6.8.6. Трубопровод с расходом жидкости Q = 0,32 л/с в точке М разветвляется на два трубопровода: первый размерами L₁ = 1,0 м и d₁ = 10 мм; второй размерами L₂ = 2,0 м и d₂ = 8 мм. В точке N эти трубопроводы смыкаются. Во втором трубопроводе установлен фильтр, сопротивление которого эквивалентно сопротивлению в трубе длиной L_э = 200d₂. Определить расход и потери давления в каждом трубопроводе, если плотность жидкости ρ = 900 кг/м³, кинематическая вязкость ν = 1 Ст. Течение жидкости считать ламинарным.

Рис. 6.22. Схема к задаче 6.8.6

Определим расход Q₁ и Q₂ в каждом трубопроводе по формуле (4.5):

,

.

Так как при параллельном соединении трубопроводов потери в них равны (h_пот1 = h_пот2), то после сокращения одинаковых величин получим:

,

.

Сумма расхода в точке М в данном случае будет равна сумме расходов в параллельных трубопроводах:

, откуда

= 0,0327 л/с,

= 0,287 л/с.

Потери давления:

= 105 кПа,

=

кПа.