5.3. Гидродинамическое воздействие струи на твёрдую преграду

При воздействии струи жидкости на любую твёрдую преграду сила давления жидкости Р равна произведению гидродинамического давления на площадь действия. Для определения силы Р используют теорему количества движения – изменение количества движения ∆mV равно импульсу внешних сил ∆F, приложенных к выделенному участку потока:

.

Рассмотрим неподвижную плоскую стенку, расположенную под углом α относительно оси струи (рис. 5.7). Струя жидкости вытекает из насадка площадью S₀ с расходом Q₀ и скоростью истечения V₀. Со стороны стенки возникает противодействующая сила N, равная силе давления жидкости Р и направленная в противоположную сторону:

.

Рис. 5.7. Схема воздействия струи на твёрдую преграду

Изменение количества движения (∆mV) за время dt в проекции на ось ОХ будет равно:

,

где , и - проекции количества движения жидкости в сечениях 0 – 0, 1 – 1 и 2 – 2 на ось ОХ.

Импульс внешних сил за время dt равно . Тогда:

.

Учитывая, что , получим:

. (5.12)

Расход в сечении 0 - 0 за время dt равен сумме расходов в сечениях 1 – 1 и 2 – 2:

.

Определим расходы в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Для этого запишем уравнение количества движения относительно оси х′, проходящей по наклонной плоской стенке. Учитывая, что силы P и N направлены по нормали к выбранной оси х′, проекция сил на эту ось будет равна нулю. Тогда:

,

откуда .

Используя уравнение равенства расходов, получим следующие значения расходов Q₁ и Q₂:

, откуда . (5.13)

Подставим расходы Q₁ и Q₂ в уравнение (5.12), учитывая, что скорости в сечениях V₀ = V₁ = V₂:

.

После математических преобразований получим:

, откуда

. (5.14)

Учитывая, что , сила давления жидкости на неподвижную плоскую твёрдую стенку будет равна:

. (5.15)

Если поверхность, на которую действует струя жидкости, движется в направлении движения жидкости со скоростью V_пов, сила давления жидкости будет равна:

. (5.16)

Рассмотрим реактивное действие струи, истекающей из сопла центробежного масляного фильтра (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Схема двухсопловой центрифуги

с гидрореактивным приводом

Согласно теореме количества движения, реактивная сила при вращении вала фильтра согласно (5.16) с учётом α = 90º, :

,

, ,

.

Вращающий момент на валу фильтра:

.

Учитывая, что расход масла Q, поступающего в центрифугу, равен , окончательно получим .

5.4. Примеры решения задач

Задачи на истечение решают без составления уравнения Бернулли с помощью основного выражения (5.4) или (5.6). При этом следует помнить, что гидростатический напор H_ст определяется разностью давлений до и после отверстия. При расчёте истечения через насадки следует помнить, что коэффициенты истечения в отличие от истечения через отверстие определяют по табл. 3.

Задача 5.3.1. Определить расход и скорость истечения воды из малого круглого отверстия диаметром d₀ = 3 см в боковой стенке резервуара больших размеров. Напор над центром отверстия h = 1 м, кинематическая вязкость воды при t = 20 ºС составляет ν = 10^-6 м²/с.

Определим число Рейнольдса, характеризующее истечение без учёта коэффициента скорости φ, то есть для истечения без образования сжатого сечения и сопротивления:

= 133000.

Из рис. 5.2 при Rе = 133 000 определим коэффициенты скорости φ и расхода μ_р: φ = 0,98; μ_р = 0,59. Тогда скорость истечения воды из малого отверстия в тонкой стенке в сжатом сечении будет равна:

= 4,3 м/с.

Расход вытекающей из отверстия воды будет равен:

= 1,91 л/с.

Задача 5.3.2. Определить расход жидкости, вытекающей из бака через отверстие площадью S₀ = 0,01 см². Показание ртутного манометра h_рт = 268 мм, высота h = 2 м, коэффициент расхода отверстия μ_р = 0,60. Плотность жидкости в баке ρ = 800 кг/м³, плотность ртути ρ_рт = 13600 кг/м³. Атмосферное давление р_ат = 0,1 МПа. Напор считать постоянным.

Определить, во сколько раз увеличится расход, если к отверстию присоединить цилиндрический внешний насадок, конически расходящийся насадок длиной L_н = 5d₀ при угле конусности γ = 7º.

Расход жидкости определим по формуле (5.7):

Перепад давления ∆р с верхней и нижней стороны отверстия определим в абсолютных единицах. Тогда ∆р будет равен разности давления на дне сосуда (сумма р₀ и весового давления ) и атмосферного давления, то есть:

.

Рис. 5.7. Схема к задаче 5.3.2

Давление р₀ (абсолютное давление) определим по показанию ртутного пъезометра, высота столба ртути в котором уравновесит избыточное давление, действующее по свободной поверхности жидкости в баке. Тогда абсолютное давление р₀ будет равно:

= 135,72 кПа.

Тогда перепад давления:

= 51,4 кПа.

Расход жидкости через малое отверстие в тонкой стенке будет равен:

= 0,68 л/с.

Определим расход жидкости при присоединении насадка к отверстию диаметром d₀, который равен = 0,011 м:

- цилиндрический внешний насадок (μ_внеш = 0,82)

= 0,93 л/с;

- конически расходящийся насадок (μ_к.р. = 0,5 по S_вых)

= 0,000247 м²,

= 1,4 л/с.

Определим, во сколько раз расход через насадки больше, чем через отверстие в тонкой стенке:

- через цилиндрический насадок = 1,37 раза;

- через расходящийся насадок = 2,06 раза.

Задача 5.3.3. Определить направление истечения жидкости с плотностью ρ = 1000 кг/м³ через отверстие диаметром d₀ = 5 мм и расход, если разность уровней h = 2 м, показание вакуумметра соответствует 147 мм. рт. ст., показание манометра p_м = 0,25 МПа, коэффициент расхода μ_р = 0,62.

Рис. 5.8. Схема к задаче 5.3.3

Разность избыточного давления между баками равна:

= 250 кПа.

Поскольку давление в правой части бака больше, чем в левой, то направление течения жидкости будет направлено в левую часть емкости (ответ получили со знаком «+», ).

Тогда расход жидкости через отверстие с диаметром d₀ будет равен:

= 0,27 л/с.

Задача 5.3.4. Определить диаметр отверстия дросселя d₀, установленного на сливе из гидроцилиндра, если шток цилиндра под действием внешней нагрузки F = 60 кН перемещается вправо со скоростью V = 20 см/с. Диаметры штока d_ш = 40 мм, поршня D = 80 мм, коэффициент расхода дросселя μ_р = 0,65, плотность жидкости ρ = 850 кг/м³ , давление на сливе р_с = 0,3 МПа.

Рис. 5.9. Схема к задаче 5.3.4

Определим избыточное давление в жидкости, которое создает сила F в правой части гидроцилиндра. Давление создаётся эффективной площадью поршня (эффективная площадь ):

= 16 МПа.

Перепад давлений на дросселе ∆р будет равен:

∆р = р – р_с = 15,7 МПа.

Расход жидкости, протекающий через живое сечение дросселя рабочей площадью S₀ со скоростью V_др, будет равен расходу в цилиндре площадью S_эф со скоростью V:

= 0,75 л/с.

Площадь рабочего сечения дросселя S_др будет равна:

м².

Тогда диаметр отверстия дросселя:

= 2,76 мм.