4.2. Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида « », если

. (8)

Можно доказать, что в этом случае (т.е. при условии (8)) верна формула

. (9)

Формула (9) дает правило вычисления пределов при условии (8). Это правило называется правилом Лопиталя.

(Заметим, что вычисление при называют раскрытием неопределенности вида « ».)

Рассмотрим на примерах применение правила Лопиталя:

1) ;

2) ;

3) .

(Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя.)

Будем называть отношение при неопределенностью вида « », если

. (10)

Для раскрытия неопределенностей « » также применимо правило Лопиталя, т.е. при условии (10) применяется формула

.

Это правило применяется также и при .

Примеры:

1) ;

2) .

Заметим, что неопределенности других видов: « », « », « » и т.д.^* можно свести к неопределенностям « » или « » и затем раскрыть по правилу Лопиталя.

4.3. Исследований функций и построение графиков

Рассмотрим приложения производной к исследованию поведения функций.

Возрастание и убывание функций

Теорема. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает (соответственно убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Пусть ; ; . Надо доказать, что . Для на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому

,

где . По условию , следовательно, . Отсюда . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Доказанная теорема дает достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Необходимое условие монотонности формулируется следующим образом:

если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то (соответственно ) на этом промежутке.

Итак,

1) если , то возрастает;

2) если возрастает, то , т.е. в отдельных точках производная возрастающей функции может равняться нулю.

Аналогичные утверждения верны для убывающей функции.

Экстремумы

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции (т.е.  – максимум, – минимум).

Общий термин для максимума и минимума – экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, следовательно, . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Поэтому необходимое условие экстремума можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует), называются критическими (или стационарными).

Итак, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка не всегда является точкой экстремума.

Пример. . В точке производная этой функции равна нулю. Но в этой точке нет ни минимума, ни максимума.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке имеется максимум, а если с минуса на плюс, то – минимум.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале выполняется условие , а в некотором интервале – условие . Тогда функция возрастает на интервале и убывает на интервале . Поэтому и для , и для , т.е. для всех . А это значит, что в точке  – максимум.

Для случая, когда производная меняет знак с минуса на плюс, доказательство аналогично.

Заметим, что если изменения знака не происходит, то экстремума нет.

Схема исследования функции на экстремум

1. Найти производную .

2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых или производная не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремальные значения функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

1) ;

2) , , ;

3) применяя метод интервалов, находим, что на и на , а неравенство выполняется на .

Следовательно, в точке имеется максимум, а в точке – минимум;

4) находим , .