6.2. Таблица интегралов
Непосредственно из определения 2 и таблицы производных получаем таблицу интегралов. Справедливость приведенных в ней формул легко проверить дифференцированием (т.е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции).
1.
2.
,
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
.
К приведенным выше формулам следует добавить еще правила интегрирования, основанные на свойствах неопределенного интеграла.
6.3. Простейшие правила интегрирования
I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a = const, то
II. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
III. Если , то
.
Правила I и II очевидны. Убедимся в справедливости правила III:
Рассмотрим примеры применения правила III.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
6.4. Основные методы интегрирования
К основным методам интегрирования относятся: непосредственное интегрирование, интегрирование методом подстановки и интегрирование по частям.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов путем непосредственного приложения простейших правил интегрирования и табличных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Покажем это на примерах.
1. 
.
2. 
3. 
.
Метод подстановки
Одним из самых эффективных методов приведения неопределенного интеграла к табличному является замена переменной интегрирования. Такой метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он описывается следующей формулой:
,
где
– функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке.
Рассмотрим примеры:
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
.
Тогда
,
;
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
Положим
.
Тогда
.
Получаем
.
Пример 3. Вычислить
.
Решение.
Положим
;
тогда
,
;
Пример 4. Вычислить
.
Решение.
Положим
;
,
;
Интегрирование по частям
Пусть , – дифференцируемые функции. Тогда
.
Эта формула называется формулой
интегрирования по частям. Она
непосредственно выводится из формулы
.
Рассмотрим примеры:
Пример 1. Вычислить
.
Решение.
Положим
,
.
Тогда
,
;
.
Пример 2. Вычислить
.
Решение.
Положим
,
;
тогда
,
;
.
Пример 3. Вычислить
.
Решение.
Положим
,
;
,
;
В некоторых случаях для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Пример
4. Вычислить
.
Решение. Положим
,
;
тогда
,
.
Получаем
.
Возникший в правой части равенства интеграл не является табличным, однако видно, что мы на правильном пути – интеграл
проще исходного. К
снова применим интегрирование по частям,
полагая
,
;
,
.
Получаем
.
Подставляя в (*), находим
.
Полезно запомнить следующие типы интегралов, которые удобно интегрировать по частям.
I.
|
IV.
|
II.
|
V.
|
III.
|
VI.
|
Для
нахождения интегралов I–III
полагают
.
После n-кратного
применения метода интегрирования по
частям интеграл сведется к табличному.
В
интегралах IV–VI
полагают
.