Способы задания функций

Существует несколько способов задания функций. Основными принято считать три: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формулы (или формул). Так, функции , , , заданы аналитически.

Следует заметить, что одна функция может определяться и набором формул: разным участкам области определения функции соответствуют разные формулы (т.е. разные аналитические выражения). Например:

Табличный способ задания функции состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции . Примерами могут служить таблицы экспериментальных измерений, таблица логарифмов.

Графический способ. Пусть – некоторая функция. Ее графиком называется геометрическое место точек плоскости , координаты которых связаны соотношением . Само равенство называется уравнением этого графика. Функция называется заданной графически, если начерчен ее график. Графический способ широко применяется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (таких как осциллографы, сейсмографы и т.п.).

К достоинствам этого способа можно отнести его наглядность, к недостаткам – его неточность.

Существуют и другие, менее распространенные способы задания функций, например, словесный способ, заключающийся в том, что правило составления функции описывается словесно.

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств функций.

Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любого x выполняется условие . Если же для любого x из области определения выполняется условие , то функция называется нечетной. Функция, которая не является четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Примеры. 1) – четная функция, так как , т.е. ;

2) – нечетная функция, так как , т.е. ;

3) есть функция общего вида. Здесь , ; , .

График четной функции симметричен относительно оси Ох, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность. Функция называется возрастающей на промежутке Х, если для любых из неравенства следует ; функция называется убывающей, если из следует .

Функция называется монотонной на промежутке Х, если она или возрастает на всем этом промежутке, или убывает на нем.

Например, функция возрастает на и убывает на .

Заметим, что мы дали определение функции монотонной в строгом смысле. Вообще к монотонным функциям относятся неубывающие функции, т.е. такие, для которых их следует , и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых из следует .

Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число , что для любого .

Например, функция ограничена на всей числовой прямой, так как для любого .

Периодичность. Функция называется периодической, если существует такое число , что для всех х из области определения функции.

В этом случае Т называется периодом функции. Очевидно, если Т – период функции , то периодами этой функции являются также 2Т, 3Т и т.д. Поэтому обычно периодом функции называется наименьший положительным период (если он существует). Например, функция имеет период , а функция – период .