Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть дифференцируема в данной точке, т.е. существует предел
.
Тогда
,
где – бесконечно
малая. Отсюда
.
Пусть . Тогда
.
Итак, бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. функция непрерывна.
Теорема доказана.
Обратное утверждение неверно: функция, непрерывная в точке, может не иметь производной в этой точке.
Схема вычисления производной
Производная функции может быть найдена по следующей схеме:
1.
Дадим аргументу x
приращение
и найдем соответствующее значение
функции
.
2. Находим приращение функции
.
3.
Составляем отношение
.
4. Находим предел этого отношения при , т.е.
.
Пример. Найти производную функции .
Решение.
1) Дадим аргументу приращение
и найдем
;
2) находим приращение функции
;
3) составляем отношение
;
4) находим предел
.
Итак,
.
Аналогично можно показать, что
.
Вообще
.
Правила дифференцирования
Пусть , – дифференцируемые функции, c – константа. Тогда:
I.
(постоянный множитель выносится за
знак производной).
II.
(производная алгебраической суммы
равна алгебраической сумме производных).
III.
.
IV.
.
V. Если , , то
.
Докажем в качестве примера правило III.
1.
Дадим x приращение
.
Тогда функции u и v
получают значения
,
,
а функция
– значение
.
2. Найдем приращение функции
3. Состав отношение :
.
4. Вычислим предел при :
.
Итак, .
Таблица производных
1. 
.
2. 
.
3. 
.
.
4. 
.
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
11. 
.
12. 
.
Схему доказательства формулы 2 мы рассмотрели ранее. Докажем еще в качестве примера формулы 5 и 7.
Пусть . Придадим x приращение . Получаем
=
.
Составим отношение
.
Перейдем к пределу при :
Пусть
.
Применим правило дифференцирования
дроби:
Приведем теперь примеры вычисления производных с применением формул и правил дифференцирования.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
;
6)
3.2. Дифференциал
Пусть функция
имеет в некоторой точке x
производную
.
В соответствии с определением производной
Отсюда
,
где – бесконечно
малая при
.
Выразим
:
.
Если
,
то в правой части этого равенства первое
слагаемое при малых
более важно, чем второе*.
Это первое слагаемое (уже независимо
от того, будет ли
)
называют дифференциалом. Сформулируем
понятие дифференциала более точно.
Определение. Дифференциалом функции в точке x называется произведение производной , вычисленной в этой точке x, на произвольное приращение аргумента .
Дифференциал
обозначается символом
или
:
. (2)
Возьмем,
в частности, функцию
.
Имеем
,
т.е. дифференциал независимого аргумента
совпадает с его приращением:
. (3)
С учетом этого формулу (2) можно переписать так:
. (4)
Отсюда
. (5)
Геометрический смысл дифференциала
Пусть
– некоторая функция, имеющая в точке
производную
.
Ее график изображен на рис. 2. Видим, что
,
а
,
откуда
.
|
Рис. 2 |
Итак, геометрически дифференциал есть приращение ординаты касательной к графику функции.