Исследование функции с помощью второй производной
Будем рассматривать дважды дифференцируемую функцию, т.е. функцию , которая имеет производные и .
Второе достаточное условие экстремума.
Если в точке
первая производная равна нулю:
,
а вторая положительна:
,
то
есть точка минимума функции
;
если же
,
,
то
– точка максимума.
Доказательство. Пусть
,
.
Тогда, так как
,
первая производная возрастает в
окрестности точки
.
Значит, слева от
она отрицательна:
,
а справа – положительна:
.
Итак, при переходе через
производная меняет знак с минуса на
плюс. Следовательно, в этой точке минимум.
Аналогично рассматривается случай
,
.
Пример.
.
.
Имеем:
,
,
;
.
Следовательно, в точке имеется минимум.
Функция и ее график характеризуются также направлением выпуклости и наличием асимптот. Говорят, что на данном интервале выпуклость графика направлена вверх (вниз), если все его точки находятся ниже (соответственно выше) любой касательной на этом интервале.
На
рис. 2 показан график функции, у которого
на интервале
выпуклость направлена вверх, а на
интервале
– вниз.
Точка, в которой меняется направление выпуклости, называется точкой перегиба.
|
Рис. 2 |
Можно
доказать, что если на данном интервале
,
то выпуклость графика направлена вниз,
если же
,
то выпуклость направлена вверх.
Если
– точка перегиба, то
.
Асимптоты
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки М графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Различают
вертикальные и наклонные асимптоты.
Прямая
называется вертикальной асимптотой,
если
или
.
Вертикальные асимптоты сопутствуют
обычно точкам разрыва второго рода.
Из
школьного курса известно, в частности,
что ось Oy (т.е. прямая
)
есть вертикальная асимптота графика
функции
.
Прямая
есть наклонная асимптота графика
функции
при
,
если
,
где
при
.
Коэффициенты k и b в уравнении наклонной асимптоты находят по формулам:
,
.
Пример. Найти наклонную асимптоту
графика функции
.
Решение.
1)
;
2)
.
Уравнение асимптоты:
.
Заметим,
что наличие у функции
наклонной асимптоты
означает, что при больших значениях
аргумента функция мало отличается от
линейной функции.
Общая схема исследования функций и построения их графиков
Для исследования функции и построения графика следует найти:
1) область определения функции;
2) точки разрыва функции;
3) интервалы возрастания и убывания функции;
4) максимумы и минимумы;
5) направление выпуклости графика функции, точки перегиба;
6) асимптоты.
Кроме того, учитываются четность (или нечетность) функции, периодичность, точки пересечения графика с осями координат.
На основании проведенного исследования строится график функции, при этом полезно намечать элементы графика параллельно с исследованием.
Пример
1. Исследовать функцию
и построить ее график.
1. Область определения – вся числовая прямая за исключением точки , т.е. множество
.
2. – точка разрыва 2-го рода, так как
,
.
3. Вычислим производную:
.
Определим области возрастания и убывания функции:
при
имеем
– функция возрастает;
при
и
имеем
– функция убывает;
при
имеем
– функция возрастает.
4.
Из равенства
находим критические точки
,
.
В точке
производная меняет знак с плюса на минус
при
;
при
).
Следовательно, в точке
имеется максимум:
.
В точке
производная меняет знак с минуса на
плюс (
при
,
при
).
Следовательно, в точке
имеется максимум:
.
5. Вычислим вторую производную:
Определим направление выпуклости:
при
имеем
– выпуклость направлена вверх,
при
имеем
– выпуклость направлена вниз.
Точек перегиба нет.
Определим асимптоты графика.
Очевидно, – вертикальная асимптота.
Определим наклонную асимптоту.
,
.
Итак,
– наклонная асимптота.
График исследуемой функции изображен на рис. 3.
|
Рис. 3 |
Пример 2. В теории вероятностей и в статистике весьма важную роль играет функция
– дифференциальная функция нормального распределения. Исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления по приведенной выше схеме и построим ее график. Заметим, что этот график называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Решение. 1. Область определения функции – вся ось Ox.
2. Функция непрерывна на всей оси Ox.
3. Вычислим первую производную:
.
Легко видеть, что
при
,
при
.
Следовательно, на интервале
функция возрастает, а на интервале
– убывает.
4.
Приравнивая производную к нулю, находим
критическую точку
.
В точке
производная меняет знак с плюса на
минус, следовательно, в ней имеется
максимум:
.
5. Вычисляем вторую производную:
Легко видеть, что вторая производная равна нулю, когда
,
т.е. при
и
.
Имеем
выпуклость направлена вниз
выпуклость направлена вверх
выпуклость направлена вниз.
При переходе через точки , вторая производная меняет знак. Значение функции в обеих этих точках одно и то же:
.
Таким образом, точками перегиба графика являются точки
и
.
6. Вертикальных асимптот, очевидно, нет.
Предел функции при
равен нулю:
.
Следовательно,
ось Ox
есть горизонтальная асимптота графика
(очевидно,
,
и наклонных асимптот нет).
При
построении графика учтем дополнительно,
что при всех значениях аргумента
,
т.е. кривая расположена выше оси Ox,
а также тот факт, что кривая симметрична
относительно прямой
(так как разность
содержится в аналитическом выражении
функции в квадрате).
Возьмем
для определенности
,
.
Рис. 4