Наибольшее и наименьшее значения функции

Рассмотрим функцию на отрезке . Она может иметь на этом отрезке несколько максимумов и минимумов. Очевидно, наибольшее (соответственно наименьшее) значение функции на отрезке может достигаться либо в одной из точек максимума (соответственно минимума), либо в одном из концов отрезка. Отсюда сразу виден способ нахождения наибольшего и наименьшего значений функции: надо найти все критические точки на и сравнить значения функции в этих критических точках и в концах отрезка. Из всех этих значений выбрать наибольшее и наименьшее. Они будут искомыми.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим критические точки , , , .

Имеем , , , .

Следовательно, наибольшее значение есть , а наименьшее значение есть .

Теория максимумов и минимумов применяется и при решении задач конкретного содержания. Рассмотрим в качестве примера одну из таких задач.

Над центром круглого стола нужно повести лампу. На какой высоте надо повесить эту лампу, чтобы освещенность на краях стола была наибольшей?

Решение. Пусть r – радиус стола, h – искомая высота, l – расстояние от лампы до края стола (см. рис. 4).

Из физики известно, что освещенность I в точке А выражается формулой

, где k – коэффициент пропорциональности. Очевидно, . Отсюда .
	Рис. 4

Надо найти наибольшее значение этой функции на отрезке . Вычислим производную:

.

Внутри отрезка только при таком , для которого .

Так как при и I будет равно 0, а при , очевидно, , то при значение I будет наибольшим. Искомая высота равна

.

Лекция 5. Функции нескольких переменных

Будем говорить, что переменная z есть функция аргументов x и y, если каждой паре значений x и y соответствует определенное значение z.

Тот факт, что z есть функция переменных x и y, записывают одной из формул:

, , .

Аналогично определяются и обозначаются функции трех и большего числа переменных:

, и т.д.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, выражается формулой

.

Здесь есть функция двух переменных.

Пример 2. Температура  нагретого тела может в данный момент t изменяться от точки к точке. Поэтому

,

т.е.  есть функция трех аргументов (координат точки) x, y и z.

Пример 3. Если в предыдущем примере еще учитывать зависимость  от времени t, то  будет функцией четырех аргументов

.

Чтобы задать функцию , надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Это множество называется областью определения функции. В случае явного аналитического задания это множество определяется самой формулой, задающей функцию. Например, функция

задана для всех возможных x и y. Пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. В связи с этим мы можем сказать, что рассматриваемая функция задана на всей плоскости.

Функция

задана лишь при , т.е. в круге радиуса R с центром в начале координат, ограниченном окружностью (включая эту окружность).

Функция

задана при , т.е. в кольце, ограниченном окружностями радиусов , , центр которого совпадает с началом координат (при этом точки, принадлежащие окружности принадлежат области определения, а точки окружности – не принадлежат).

Сформулируем понятие окрестности точки на плоскости.

Определение. Будем называть -окрестностью точки открытый круг радиуса  с центром в точке , т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям

.

Прямоугольной окрестностью точки называется открытый прямоугольник с центром точке (т.е. множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям , ).

В дальнейшем, говоря «окрестность», мы будем иметь в виду окрестность одного из упомянутых видов – круговую или прямоугольную.

Функция двух переменных допускает графическую иллюстрацию. Обычно график функции есть поверхность в трехмерном пространстве (при этом область определения функции есть проекция этой поверхности на плоскость xOy).

Функции трех и большего числа переменных невозможно представить геометрически (в обычном трехмерном пространстве).

Заметим, что все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных и мы будем в основном изучать именно их.