2.4. Замечательные пределы

1. Предел функции при равен 1:

. (1)

Рассмотрим примеры применения формулы (1).

Пример 1.

.

Пример 2.

.

2. Предел переменной величины при .

Теорема. Переменная величина при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство этой теоремы основано на достаточном признаке существования предела, сформулированном выше.

Определение. Предел переменной величины при называется числом е:

.

Заметим, что число e – иррациональное число

е = 2,7182818284...

(Обычно в вычислениях полагают .)

Можно доказать, что

. (3)

(В формуле (2) переменная является последовательностью, в формуле (3) переменная является функцией.)

Сделав в формуле (3) замену , получаем

. (4)

Примеры:

1)

;

2) ;

3)

;

4)

.

Число е играет очень важную роль в математике и ее приложениях.

Показательная функция с основанием е:

называется экспонентной.

Логарифмы с основанием е называют натуральными логарифмами и обозначают , т.е. вместо пишут . Очевидно, если , то .

2.5. Непрерывность функций

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и если

.

С геометрической точки зрения непрерывная функция – это функция, график которой есть непрерывная кривая. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности.

Обозначим разность через . Будем говорить, что при переходе от значения к значению x аргумент получает приращение ^*. При этом функция y получает соответствующее приращение . С учетом сказанного, равенство (1) принимает вид:

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если

. (2)

(Это определение легко запоминается в следующей форме: «функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции».)

Пример. Покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Действительно, придадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение

.

Если , то (так как ); при этом – ограничена. Поэтому

.

Следовательно, функция непрерывна.

Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Справедливы следующие теоремы:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма также непрерывна в этой точке.

2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.

3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль (т.е. если и непрерывны в точке и , то непрерывна в точке ).

4. Если непрерывна при и непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательства этих утверждений основаны на свойствах пределов.

На этих утверждениях^* основана следующая теорема.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция не является непрерывной в точке , то точка называется точкой разрыва функции . Различают точки разрыва первого рода, когда существуют конечные пределы и , но  , и второго рода, когда хотя бы один из пределов слева и справа бесконечен или не существует. Среди точек разрыва первого рода следует отметить также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен .

Примеры:

1) . Здесь – точка разрыва первого рода, так как предел при слева равен , а предел при справа равен ;

2) . Здесь – точка разрыва второго рода;

3) Здесь – точка устранимого разрыва, так как существует .

Определение 3. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.