6.5. Интегрирование рациональных функций

Нас интересуют сейчас интегралы от рациональных функций, т.е. дробей вида

, (1)

где и – многочлены. В частности (когда степень многочлена равна нулю), дробь (1) является многочленом.

Мы будем рассматривать правильные дроби, т.е. такие дроби, у которых степень числителя ниже степени знаменателя.

Для интегрирования дроби (1) стараются представить ее в виде суммы более простых дробей. Например, легко проверить, что

.

Поэтому

Рассмотрим другой пример: вычислить .

Постараемся представить подынтегральную функцию в виде суммы более простых дробей:

.

Очевидно

Итак,

.

Отсюда получаем тождество

,

т.е. .

Следовательно,

Решая эту систему, получаем , . Поэтому ;

Мы получили вывод формулы, которая в таблице интегралов имеет номер 12.

Аналогично в общем случае можно показать, что если подынтегральная функция – правильная дробь, где – многочлен, имеющий n различных корней , , ..., , то

,

где , , ..., – некоторые числа.

Наконец, если не все корни знаменателя – действительные, то

.

Кроме того, в разложении знаменателя некоторые множители могут встречаться более одного раза. Например, . Тогда

Пример.

.

Приведем к общему знаменателю и приравняем степени обеих частей равенства. Получим тождество

.

Подставим x = 2. Получим B = 4. Подставим x = 1. Получим . Чтобы найти , приравняем коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства: . Отсюда, зная, что B = 4, находим . Итак,

.

Из сказанного выше следует, что для того, чтобы уметь интегрировать любую рациональную дробь, достаточно знать, как интегрируются простейшие дроби. Различают четыре вида таких дробей.

I. ,

II. ,

III. ,

IV.

Дроби вида I и II интегрируются без всякого труда. Например,

1) .

2) .

Рассмотрим интеграл от дроби вида III, т.е.

,

при этом предполагаем, что дискриминант трехчлена отрицателен, так как в противном случае дробь может быть представлена как сумма дробей вида I.

Этот интеграл легко вычисляется в двух случаях:

а) числитель есть производная от знаменателя;

б) числитель не зависит от x, т.е. .

В случае (а) интеграл есть логарифм знаменателя, например,

.

В случае (б) выделяем полный квадрат, и интеграл сводится к табличному, например,

В общем случае подынтегральную функцию представляем в виде дробей вида (а) и (б), например,

.

Первый из интегралов справа относится к случаю (а), а второй – к случаю (б).

Интегралы от дробей вида IV вычисляются сложнее, и в этом курсе мы их не рассматриваем.

6.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Во многих случаях при интегрировании иррациональной функции удается сделать подстановку, в результате которой получается интеграл от рациональной функции.

Пример 1. Вычислить .

Положим , получим , , откуда

Пример 2. Вычислить .

Здесь, для того чтобы перейти к рациональной функции, надо сделать подстановку (так как под интегралом и , а общий знаменатель дробей и равен 6). Получаем , , . Отсюда

,

и далее вычисляем интеграл от рациональной функции, а затем переходим от z к x.