5.5. Экстремумы функций нескольких аргументов
Определение. Функция
имеет максимум (соответственно
минимум) в точке
,
если существует такая окрестность точки
,
что для любой точки
из этой окрестности выполняется
неравенство
(соответственно
).
Общее название для максимума и минимума – экстремум.
Необходимое
условие экстремума дифференцируемой
функции заключается в следующем: если
имеет экстремум в точке
,
то ее частные производные
и
в этой точке равны нулю:
|
(1) |
,
.
Докажем это утверждение. Пусть в точке
имеется экстремум. Зафиксируем
.
Получим функцию
,
зависящую от одного аргумента x.
Так как она имеет экстремум при
,
то ее производная в этой точке равна
нулю:
.
Аналогично доказывается второе из равенств (1)
Заметим, что условия (1) не являются достаточными. Рассмотрим два простых примера.
Пример
1.
.
Имеем
;
.
Очевидно, частные производные обращаются
в нуль в точке (0, 0). При этом ясно, что в
этой точке имеется минимум
(так как в остальных точках
).
Пример
2.
.
Здесь
,
.
В точке (0, 0) обе производные обращаются
в нуль, но значение
не является максимальным или минимальным,
т.к. в любой окрестности точки (0, 0) есть
точки, в которых
и есть точки, в которых
.
Точки, в которых выполняются условия (1), называются критическими, или стационарными, точками.
Итак, если в данной точке имеется экстремум, то эта точка является стационарной. Но если точка является стационарной, то в ней может не быть экстремума.
Поэтому стационарную точку надо дополнительно исследовать на экстремум.
Достаточное условие экстремума.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
критической точки
и имеет в этой точке непрерывные частные
производные второго порядка и пусть
,
,
.
Тогда если
,
то в точке
экстремум есть, причем если
,
то максимум, если
– минимум. Если
,
то экстремума нет*.
Примеры:
1)
.
Здесь
,
.
Находим критические точки:
Решая эту систему, находим две критические точки – (0, 0) и (3, 3).
Так
как
,
,
,
то в точке (0, 0) будет A = 0,
B = –9, C
= 0. Отсюда
и в этой точке экстремума нет. В точке
(3, 3) будет A = 18, B
= –9, C = 18,
,
следовательно, экстремум есть. Так как
,
то это минимум:
;
2)
вернемся к примеру
,
,
,
,
,
;
A = 0, B
= 1, C = 0,
– экстремума нет.
Глава 6. Неопределенный интеграл
В главе 3 мы рассматривали такую задачу:
дана функция
;
требуется найти ее производную, т.е.
функцию
.
Здесь
мы будем рассматривать обратную задачу:
дана функция
;
требуется найти такую функцию
,
производная которой равна
,
т.е.
.
6.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция называется первообразной для функции , если
.
Например,
есть первообразная для
,
так как
;
есть первообразная для
,
так как
.
Очевидно,
если для данной функции
существует первообразная, то эта
первообразная не является единственной.
Так, в предыдущем примере можно было
взять в качестве первообразной для
не только
,
но и
,
или вообще
(где С – любое, С = const),
так как
.
Можно
доказать, что если
есть первообразная для
,
то всякая первообразная для
имеет вид
,
где С = const.
Определение 2. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается
.
Итак, если
,
то
.
При
этом
называется подынтегральной функцией,
а выражение
– подынтегральным выражением.
Из
определения ясно, что неопределенный
интеграл представляет собой семейство
функцией
.
Нетрудно убедиться, в частности, что справедливы равенства:
,
,
.
Из определения 2 непосредственно получаем следующие свойства:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
(т.е. знаки d и в указанном порядке взаимно уничтожаются).
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
(т.е. знаки и d, когда d стоит после также взаимно уничтожаются, но при этом к надо прибавить произвольную постоянную).