7 Сурет – Ұйғарынды мәндер аймағы (ұма) шетіндегі оптимумды кескіндейтін график.

Мақсатты функция – бұлда оптималдық критериялары сияқты, бірақ бұл кіретін факторлар функциясы ретінде қарастырылатын критериялар

F = F (X_1, X_2,…. X_n, U_1, U_2, …U_m) (28)

F мәні қаншалықты жоғары (немесе төмен) болса, соншалықты жақсы болады. Сондықтан оптимумға келесідей анықтама беруге болады: оптимум – бұл мақсатты функцияның экстремумы (не максимум, не минимум). Оптимумға жеткізілетін факторлардың X_i мәндері оптималды мәндер деп аталады. Сонымен, оптималдаудың математикалық есебі экстремумды табу есебі ретінде тұжырымдалады.

Бұл кезде экстремум нүктесінде барлық шектеулер сақталуы керек. Сондықтан көп жағдайларда оптимумды, шектеулердің болуы салдарынан шегінен шығып кете алмайтын, ұйғарынды мәндер аймағының шетінен іздеуге тура келеді. 7 суреттегі ab кесіндісі a≤х≤b шектеуімен анықталатын ұйғарынды мәндер аймағы болып табылады.

Әдебиет: 2 нег. [6-41], 1қос., 2 қос. (сәйкес тараулар).

Бақылау сұрақтары:

1. Оптималдау критериясы дегеніміз не?

2. Оптималдау критериясы қанағаттандыратын талаптарды атаңыз.

3. Шектеулер дегеніміз не, оладың пайда болу себептерін атаңыз.

4. Оптималдаушы факторларға жататындар.

5. Мақсатты функцияға анықтама беріңіз.

№ 13 дәріс: Оптималдау әдістері. Бірінші топ: аналитикалық әдістер

Оптимумды іздеу әдістерін үш негізгі топтарға бөлуге болады:

1. Аналитикалық әдістер. Туындыларды нөлге теңестіру шартынан шыға отырып, мақсатты функцияны дифференциалап және экстремумды іздей алатын кезімізде қолдануымызға болады.

2. Сандық немесе іздеу әдістері. Оларды қолдану үшін, мақсатты функция есептелетін болуы қажет: факторлардың берілген мәндерінде оптималдық критериясының мәнін есептеуге болатын алгоритм белгілі болуы қажет.

3. Эксперименттік оптималдау, егер мақсатты функция есептелмейтін болса, қолданылады. Яғни, функция түрі белгісіз болғанда. Онда экспериментті нәтижесінде оптимум аймағын табуға болатындай етіп жоспарлау және жүзеге асыру қажет. Осы топтардың әрқайсысын жеке қарастырамыз.

1. Дифференциалдық есептеу әдісімен оптималдау.

Мейлі мақсатты функция теңдеумен (28) берілсін. Экстремумды табудың классикалық әдісі келесі жүйені шешумен қорытындыланады (29). Теңдеудің сол жағы (29) –X_1, X_2,…. X_n, факторлар функциясы, сондықтан жүйенің шешімі факторлардың оптималды мәндері бола алатын X_1опт, X_{2 опт,….} X_{n опт,} шамаларды бере алады; олардың жиынтығы есептің оптималды шешімін анықтайды. Егер металлургиялық процесс оптималданатын болса, онда бұл шешімге оптималды режим сәйкес келеді. Дегенмен, алынған мәндердің шынындада оптималды екеніне көз жеткізу қажет. Келесі жағдайларды айқындау қажет:

1. Шынындада жүйенің (29) шешімі экстремумды анықтайдыма: бұл шартты (29) ерлі нүкте мен иілу нүктесіде қанағаттандыра алатыны белгілі.

2. Қажетті белгі экстремумы алындыма (максимум, егер бізге максимум мүдделі болса, және минимум кері жағдайда).

3. Егер жүйенің бірнеше шешімі болса, онда оның қайсысы ғалами оптимумға, қайсысы – жергіліктіге жауап бере алады. Мысалы, егер тәуелділік бірнеше максимумды болса, онда басқаларына қарағанда жоғарысы ғалами болады; қалғандары жергілікті болады.

4. Экстремум нүктесінде барлық шектеулер сақталадыма.

∂F /∂ X₁ = 0

∂F / ∂ X₂ = 0 (29)

.... . . . . . . .

∂F/∂ X_n = 0

Металлургиялық процестерді оптималдаудың бірқатар ең кең тараған есептерін қарастырайық.

Мысал. Жалғыз химиялық реакцияның оптималды температурасы.

Егер химиялық реакция қосалқы сатысыз өтетін болса, онда оптималдаудың ең қарапайым критериясын табуға болады – реакция жылдамдығын. Шектеулерді қойып және оптималдаушы факторларды таңдау қажет. Дегенмен көп жағдайларда, алдымен мақсатты функцияны жазып, содан соң шектеулер мен оптималдаушы факторларға өткен ыңғайлы. Бізде солай жасаймыз. Біздің талқылауымыз кез-келген қайтымды (және қайтымсыз) реакциялар үшін дұрыс. Дегенмен анықтау үшін келесі түрдегі реакцияны қарастырамыз:

k₁

_{A →} B (30)

←

k₂

Мақсатты функция келесі түрде болады:

F = r =A₁ e^-E₁^/RT c_A– A₂ e^-E₂^/RT c_B (31)

Сонымен, біздің критериямыз үш параметрге тіуелді болады: температураға Т және концентрацияларға c_A және c_B. Осы үші шамаларды оптималдаушы факторлар ретінде алуға болар еді. Дегенмен, ескеру қажет, концентрациялар c_A және c_B қарастырылатын жүйенің кірістері қатарына жатпайды. Олардың өзіде реакцияның нәтижесі ретінде алынады. Жылдамдықты жоғарылату үшін c_A мәнін барынша жоғары, ал c_B мәнінің барынша төмен болғаны дұрыс екені айқын_. Ал процестің мақсаты – керісінше: c_B жоғарылату және c_A кеміту. Сондықтан концентрацияларды тәуелсіз факторлар ретінде қарастыруға болмайды.

Сонымен, Ғ әсер ететін бір ғана тәуелсіз фактор бар: ол температура. Қарастырылатын есеп химиялық реакцияның оптималды температурасы туралы есеп деп аталады. Бірақ, әртүрлі концентрациялар кезінде температураның әсері әртүрлі болады. Сондықтан, келесі ретпен шешеміз. c_A және c_B кейбір мәндерін белгілейміз және осы мәндердегі оптималды температураны табамыз. Бұл А және В заттарының концентрациясы, біздің есебімізде, теңдік типті шектеу ретінде болатынын белгілейді.

Одан өзге, кез-келген тәжірибелік есептерде болатын теңсіздік типті бір шектеуді ескереміз: ол температураның кейбір максимал мәннен Т_макс арта алмайтындығы:

Т≤ Т_макс (32)

Алдыңғы теңдеуге (29) көңіл аудармас бұрын, оптимумды есептеусіз, физикалық талқылау бойынша табуға болатын екі жағдайды қарастырамыз.

Егер реакция қайтымсыз болса, яғни A₂ = 0, онда теңдеудің оң бөлігінде (31) тек қана бірінші мүше қалады, ол температураның жоғарылауымен шексіз өседі. Бұл шарттың мәнінде (29) максимум жоқ. Онда оптимум шектеумен анықталады: максимал ұйғарынды температураны ұстау қажет Т_опт = Т_макс. Мысалы, отынның жануының қайтымсыз реакциясының оптималды температурасы. Жанудың максимал қарқындылығы талап етілген жағдайларда, максимал қол жеткен температураны ұстау қажет. Осы температураны жоғарылатуға қазіргі уақыттың оттықтарын конструкциялау кезінде барлық күш салынады.

Егер реакция қайтымды, бірақ эндотермиялық болса, яғни Е₁ > Е_2,онда талқылау нәтижесі – алдыңғы жағдайдағы сияқты болады. Шыныдада, температураның жоғарылауымен тепе-теңдікте оңға қарай ығысады, және тікелей реакцияның жылдамдығы артады. Сондықтан Т_опт = Т_макс. Мысалы, эндотермиялық реакцияның оптималды температурасы N₂ + O₂ = 2NO. XVIII ғасырда Г. Кавендиш ашқан бұл реакция, гидроэлектроэнергияның арзандауы және доғалы пештерді әзірлеу максимал температураны Т_макс 3000 К дейін көтеруге мүмкіндік берген кезде ғана, ХХ ғасырда қолданыс тапты. Дегенмен, кейіннен азотты беркітудің бұл әдісі аммиактың синтезімен ығыстырылды. Қазіргі кезде азоттың тікелей тотығуы қайтадан жандануда, бұл шектеу деңгейінің жоғарылауымен байланысты: плазмотрондар пайда болғаннан кейін оның бәсекелестік қабілеттілігіне сүйенуге болады.

Егер реакция – қайтымды экзотермиялық болса, онда шешімге басқаша тәсілдеме қолдану керек. Бұл жағдайда температураның жоғарылауымен алдымен тікелей реакция жылдамдығының артуы мәндірек болады: кері реакцияәзірше өте баяу. Температураны ары қарай жоғарылатқанда үлкен активтену энергиясы бар кері реакция, тікелей реакцияны «қуып жете» бастайды. Бұл құрамда тепе-теңдік температурасы Т_{тепе-тең} бар_, осы температурада қоспа тепе-теңдікте болады, r = 0, содан соң реакцияның жүруі солға қарай ығысады. Орта шамасында реакцияның қосынды жылдамдығы максимал болатын температура бар. Осы температура – Т_опт.

Оны есептеу үшін теңдеу (31) үшін (29) теңдеудің шартын жазамыз:

∂ r ∂

------ = ----- (A₁ e^-E₁^/RT c_A– A₂ e^-E₂^/RT c_B) = 0 (33)

∂ Т ∂ Т

Бұл жерде Т бойынша жеке туынды жазылған, өйткені ол c_A және c_B белгіленген мәндері кезінде алынады. Оптималды температура теңдеуін күрделі емес түрлендірулермен алуға болады:

Е₂ – Е₁

Т_опт = ------------------------------- (34)

R ln (A₂ E₂ c_B / A₁ E₁ c_A )

Теңдеуден (34) қаншалықты c_A көп және c_В аз болса, соншалықты Т_опт жоғары болатынын көреміз; түрлену дәрежесінің арту шамасына қарай Т_опт төмендейді. c_В →0 кезінде, Т_опт → ∞ теңдеу бойынша. Сондықтан реактордың бастапқы бөлімінде максимал ұйғарынды температураны Т_макс орнықтыру қажет, ал (34) теңдеумен анықталған Т_опт максимал температурамен Т_макс теңескен сәттен бастап, температураның өзгерісі осы теңдеумен анықталуы қажет.

Мысал. Паралель жұмыс істейтін аппараттар бойынша ағынның оптималды таралуы.

Бұл оптималды басқару кезінде жиі пайда болатын есептердің бірі. А→В реакциясы n параллель байланыстырылған мүлтіксіз араластырушы реакторларда жүргізіледі (8 сурет). Ағынды аппараттар арасында қалай оптималды бөлуге болады? Жалпы жағдайда аппараттар көлемі V₁, V₂, … V_n – әртүрлі және әртүрлі аппараттардағы реакциялар жылдамдығының константаларыда k₁, k₂,…..k_n – әртүрлі деп есептейміз (мысалы, катализатордың бірдей активті болмауынан).

Әрине оптималдық критериясы ретінде, реакцияның толық жүрмеуі салдарынан болатын А затының жоғалымының қосындысын алу, яғни осындай бөліністі ең жақсы нұсқа деп есептеуге болады. Әрбір i-ші аппаратта v_i шығыны кезінде уақыт бірлігіндегі бұл жоғалымдар v_i c_Ai құрайды, онда барлық аппараттар үшін жазуға болады:

n

F = ∑ v_i c_Ai (35)

i=1

c_Ai -ны c_A0-ның бастапқы концентрациясы арқылы өрнектеп, аламыз:

n c_A0 n v_i ²

F ₌ ∑ v_{i ------------- -- =} c_A0 ∑ -------------- (36)

i=1 1+ k_i t_i i=1 v_i + k_i V_i

k_i V_i = a_i белгілейміз. a_i шамасы і-ші аппараттың өнімділігін сипаттайды. Енді келесідей жазуға болады:

n v_i ²

F ₌ c_A0 ∑---------- (37)

i=1 v_i + a_i

Мақсатты функцияға (37), теңдеудің (29) шартын қолданбас бұрын, осы есептегі келесі теңдік типіндегі шектеулерге көңіл аударамыз:

n

v ₌ ∑ v_i (38)

i=1

Сондықтан v_i шығындарының n барлығы тәуелді емес. Оның бірін қалғандарының n-1 функциясы ретінде қарастыруға болады. Мейлі анықтық үшін ол v _n болсын. Онда туынды үшін кез-келген v_i бойынша кез-келген любой v _n функциясы алынады:

∂ df(v _n.) ∂ v _n df(v _n.) ∂ n-1 df(v _n.)

---- f(v _n.) = ---------- x------- = -------- x ---- (v - ∑ v_i ) = - ---------

∂ v_i dv _n ∂ v_i dv _n ∂ v_i i=1 dv _n (39)

(29) шартына келейік. Бұл жағдайда ол (n-1)-ші теңдеуден жүйе береді

∂F

-------- = 0

∂ v₁

∂F

--------=0 (40)

∂ v₂

. . . . . . . .

∂F

-------- = 0

∂v_n-1

Осы теңдеулердің біріншісін қарастырайық. c_A0 қысқартқаннан соң оны келесі түрде жазамыз:

∂ v₁ ² n-1 v_i ² v_n ²

^------(---------+∑---------+-----------)=0 (41)

∂ v₁ v₁ + a_{1 i=2} v_i + a_i v_n + a_n

v

________________________________________________

v₁ v_{2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .} v_n-1 v_n

1

2

n-1

n

v