1.Математикалық сипаттаманың құрамына не кіреді?

2. Модельдеуші алгоритмге анықтама беріңіз.

3. Математикалық сипаттама құрамына теңдеулердің қандай топтары кіреді?

4. Математикалық модельдің үш аспектісі арасында қандай байланыс бар?

5. Математикалық сипатама қандай принциппен әзірленеді?

№ 7 дәріс: Математикалық модельдердің ерекшелігі

1. Модельдер дәлдігі туралы. Бірде-бір модель түпнұсқаны толығымен және жан-жақты айқындай алмайды. Бұл жалпы философиялық ойлардан шығады және материалдық модельгеде, ой моделінеде тән болады.

Жәнеде, көбінесе, тәжірибеде барынша төмен «жетілдірілген», түпнұсқаның тек жеке түрін айқындайтын, басқа тұрғыдан қарағанда түпнұсқаға тіпті ұқсамайтын модельді қолдану тиімді. Кейбір жағдайларда бір түпнұсқаны бір-біріне ұқсамайтын әртүрлі модельдерден модельдеу тиімді. Осыны мысал түрінде қарастырайық.

Мысалы. Бір түпнұсқаның әртүрлі моделі.

Айтайық, біз тәжірибелік қондырғыны орналастыру үшін зертханалық стол модельдеуіміз керек. Столдың моделі қандай болуы керек? Бұл модельдеу көмегімен біздің қандай мәселені шешкіміз келетінен байланысты.

Егер бұл механикалық беріктік туралы болса (айтайық столдың үстінде үлкен күштің соққысы болады), онда негізгі талап – түпнұсқаны бұзатын соққының күшін есептеу мүмкіндігі. Бұл этапта модель өзіне күшті қабылдайтын каркас түрінде болады.

Егер сол столдың материалының, тәжірибелер жүргізу кезінде бөлінеьін заттардың әсеріне коррозиялық тұрақтылығы туралы мәселені шешу қажет болса, онда модель ретінде сәйкес орталарға батырылған материалдар үлгісі алынады.

Егер столдың тар зертхана бөлмесінде ыңғайлы орналасуын алдын ала шешкіміз келсе, модель ролін зертхана жоспарымен қозғалтатын қағаз тікбұрыш атқарады.

Әрине, егер күрделі объектіні жеткілікті дәл сипаттау қажет болса, онда күрделі модель қолданылады. Бұл жағдайларда толық математикалық сипаттаманы алу – үлкен жұмысты талап ететін қиын мәселе. Бірақ нәтижесі барлық шығынды жабады. Теңдеулермен және теңдеу жүйелерімен жазылатын модельдер күрделілігі туралы сұрақ туады. Мұндай жағдайлар жиі кездеседі, әрине модель басқада математикалық құрылымда бола алады – теңсіздік, алгоритмдер, кестелер және т.б. Теңдеудің күрделілігі әртүрлі нысандарда айқындала алады.

Біріншіден, бұл жүйедегі теңдеулер саны. Екіншіден, бұл қолданылатын теңдеулер типі. Дифференциалдық теңдеулерді шығару алгебралыққа қарағанда күрделірек, ал жеке туындылар теңдеуін шығару кәдімгі дифференциалдық теңдеулерге қарағанда күрделі.

Сызықтық теңдеулерден сызықсыз теңдеулерге өту кезінде біршама қиындықтар туындайды. Сызықты алгебралық жүйені немесе кәдімгі дифференциалдық теңдеуді аналитикалық жалпы түрде шығаруға болады (әсіресе бұл теңдеулер көп болмаған кезде). Қандайда бір сызықсыздық шығару процедурасын күрделендіреді.

2. Модель параметрлері. Көбінесе математикалық модельдің жай немесе күрделі болуы оған кіретін параметрлердің санына байланысты – объектінің қандайда бір ерекшелігін ескеретін коэффициенттер. Параметрлердің мәндері, бір сыныптағы басқа объектілерден осы нақты объектінің ерекшеленетін қасиеттерін сипаттайды. Модельге қаншалықты көп параметрлер кіретін болса, соншалықты затты жан-жақты сипаттауға және дәлірек көрсетуге болады.

Бұл жерде бір полюсте шекті идеалдандырылған модельдер болады – мысалы, идеал газ, абсолютті серпімді дене және т.б. Бұл жағдайда теңдеу, тек әмбебап константаларды енгізе отырып параметрлерсіз болады (идеал газ), немесе параметрлер санын минимумға келтіреді (Гук заңындағы серпімділік моделі). Бұл идеалдандырылған модельдер объектінің нақты қасиеттерін толығымен дерлік ескермейді. Екінші полюсте – көптеген нақты қасиеттерді ескеретін, күрделі көп параметрлі модельдер.

Біз әруақытта объектінің дәл сипатын алғымыз келеді, осы тұрғыдан қарағанда күрделі модельдердің зор артықшылығы бар, бірақ кемшіліктеріде жеткілікті.

Бәрінен бұрын, күрделі модельді өңдеу қиын. Егер берілген модель жоғары сатылы деңгейлердің күрделі моделінің құрама бөлігі ретінде кіретін болса, онда ақырында өте күрделі сипаттама алынады және оны ешқандай ДК есептеп шығару мүмкіндігі болмайды. Оның үстіне, тәуелділік күрделі болған сайын, оның тұтас түрін көру қиындап кетеді.

Көп параметрлі модельдерді қолданудың тағы бір қиындығы – бұл тәжірибелердің қателерге сезімталдығы. Параметрлер көп болған сайын, сол параметрлерді нақты анықтау үшін дәл эксперимент қажет. Егер сипаттаудың жоғары нақтылығы қажет болса, онда көппараметрлі модельдер қолданылады, бірақ бұл жағдайда эксперимент нақтылығымен және үлкен көлемділігімен ерекшеленуі қажет. Ал егер қойылатын талаптар соншалықты жоғары болмаса, онда қажетті дәлдікті қамтамасыз ететін қарапайым модельдерді қолдану тиімді болады.

Дегенмен, нақты жағдайларда, нақты қарастыру талап етіледі. Кейде, мүмкіндікті екі модельден барынша айқын болуына қарай, біз ең күрделісін таңдаймыз. Яғни, барлық жағдайға дұрыс келетіндей рецепт беру мүмкін емес.

3. Тұтас орталар моделі және жалған гомогендік модельдер. Модельдеудің ең жақсы ерекшелігі – бұл сипаттау тілін ауыстырумен байланысты модельді қысқарту. Көп жағдайда жүйенің күрделену шамасына қарай оның сипатталуыда күрделенеді, ал сонсоң бір мезетте шұғыл қысқарады, бұл жүйенің енді басқа тілде сипатталуымен байланысты.

Мысалы. Сипаттау тілінің ауысуы.

Пішіні күрделі емес ыдысқа орналастырылған бір молекуланың қозғалысын сипаттау соншалықты қиын емес. Егер молекула екеу болса, онда сипаттау күрделігі кем дегенде екі есеге артады. Егер молекулалар – жүз болса, онда сипаттау өте күрделі болады және барлық жүз молекуланың траекториясын бақылау қиындыққа соғады. Егер молекулалар саны 10²⁰ құраса, онда сипаттау өте оңай: pV = RT – Менделеев-Клапейрон теңдеуі. Бірақ бұл сипаттау молекулалар тілінде емес, газдық фаза тілінде болады.

Гидродинамикада, термодинамикада, жылуөткізгіштік теориясында, диффузияда және басқа ғылымдарда заттың қасиеттері, ол молекуладан тұрмайтындай сипатталады, ал заттың моделі үздіксіз өзгерістегі параметрлі орта ретінде сипатталады. Гидродинамикада сұйық қозғалысын қарастырған кезде, әңгіме жеке молекулалар қозғалысы туралы болмайды. Одан өзге, бұл жағдайда физикалық сұлба мен математикалық сипаттама ағынды сұйықтың параметрлері нүктеден нүктеге үздіксіз өзгеретініне (мысалы, жылдамдық) сүйенеді. Параметрлері үздіксіз ауысатын орта ретіндегі заттың моделінен таралатын физика және оған кіретін химия тараулары «тұтас орталар физикасы» атауымен бірлестіріледі.

Осы әрбір тарауды молекулалық көрініс негізінде сипаттауға болады. Бірақ ол күрделі сипатталады. Тіпті бір тұтас орта моделімен қатар жақсы әзірленген молекулярлық модель болсада, екіншісі біріншіні ығыстырмайды, толықтырады.

Тұтас орта моделін қолданудың ыңғайлылығы, оны тек қана молекуладан тұратын объектіні ғана емес, сонымен қатар одан да үлкен бөлшектерді қарастыруында. Біз, мысалы, эмульцияның құбырда ағуын фазалардың қасиеттері мен қатынастарына және бөлшектердің мөлшерлері мен пішіндеріне тәуелді тиімді тұтқырлықпен сипатталатын біртекті сұйық ағыны ретінде сипаттаймыз. Көп фазалы жүйені біртекті ретінде қысқарта көрсететін сұлбаны жалған гомогенді модельдер деп атайды.

4. Шектеуші сатылар. Бізге мүдделі процестер көп сатылы, яғни бірнеше баптарға таралады (этаптар, жолдары). Көп сатылы процестің сипатталуын және талдануын қысқарту үшін сатылардың біреуі процесті шектеуі қажет. Шектеуді сипаттау кезінде ғана есекріп қоймау керек. Егер біз сондай процеске әсер еткіміз келсе, онда шектеуші сатыға ықпал етуіміз керек.Процесті қандай сатының шектейтінін бір жағынан әртүрлі сатылардың жылдамдықтарының (немесе өнімділіктерінің, қуаттарының) ара қатынасы арқылы, екінші жағынан олардың өзара орналасуы арқылы анықталады. Егер сатылар жүйелі болса, онда ең баяуы шектейді (өнімділігі төмені); егер сатылар параллель болса, онда ең өнімділіктісі шектейді.

Мысалы. Көпсатылы процесс.

Кен байыту фабрикасынан химиялық зауытқа кен теміржолмен жеткізіледі. Одан өзге, концентраттың біраз мөлшерін автомашиналармен апарады. Бұл екі этап паралель жүргізіледі. Сондықтан, мысалы, тасымалдау жоспарын есептеу барысында қуаты аз сатыны (автотасымал) ескермеуге болады, өйткені темір жол шектеуші.

Екінші жағынан темір жол тасымалы бірізді этаптарға бөлінеді: жүкті тиеу (2 сағат), тасымалдау (3 сағат), жүкті түсіру (2,5 сағат). Бұл жерде ең ұзақ этап шектеледі. Тиеу – түсіру жұмыстарын жылдамдатқанмен тиімділік болмайды, тасымалдауды жылдамдатып пайда алуға болады.

5. Стационарлық және стационарлық емес процестер. Талдау үшін ең қарапайым жағдай стационарлық процесс – оның параметрлері уақыт бойына өзгермейді. Сондықтан уақыт ауыспалы ретінде сипаттамадан алынып тасталады. Атап айтсақ, сәйкес теңдеулерде уақыт бойынша туындылар болмайды. Стационарлық процестер келесі типті кәдімгі теңдеулермен сипатталады: жылудың келуі = жылудың шығыны; заттың кірісі = заттың шығыны. Мәні бойынша стационарлық процесс үздіксіз. Үздіксіз процестердің ерекшеліктері – олар міндетті түрде ашық жүйелерде өтеді, яғни қоршаған ортамен зат алмастыратын жүйелерде. Дәл осы алмастыру – бастапқы материалдарды енгізу және өнімді шығару, үздіксіздікті ұстап тұрады. Үздіксіз процесс өтетін аппаратта міндетті түрде ағыс қозғалады.

Стационарлық емес процестер уақыт бойында параметрлердің өзгеруімен сипатталады. Олар өзінің сипатталуы үшін баланстың қорытындыланған теңдеуін талап етеді: жылудың кірісі – жылудың шығыны = жылудың жиналуы; заттың кірісі – заттың шығыны = заттың жиналуы. Барлық кезеңді процестер стационарлық емес болады. Стационарлық емес процесс қоршаған ортамен зат алмастырмайтын тұйықталған жүйедеде (мысалы, автоклавта), ашық жүйедеде (кезеңді ректификация) жүре алады.

6. Парметрлері шоғырланған және таратылған объектілер. Бұл ұғымдар стационарлық пен стационарлық емес процестердің кеңістікті аналогтары болады. Егер процестің әртүрлі нүктелердегі параметрлерінің түрлілігін ескермесек және оларды (концентрация, температура және басқ.) көлемі бойынша түзетілген деп есептесек, онда бұл параметрлері шоғырланған модельдеу объектісі деп аталады. Мұндай процестің математикалық сипаттамасында координаталар бойынша туындылар болмайды, яғни олардың бәрі нөлге тең, бұл модельді өте қысқартады. Кей жағдайларда параметрлері шоғырланған оюъектіні процесс жүретін нүкте ретінде қарастырады, өйткені мұнда бір нүктенің екіншісінен айырмашылығы болмайды. Бұл жағдайда математикалық сипаттама барынша қарапайым болады.

Егер процесс параметрлері бір нүктеден екіншісіне өзгеретін болса, онда бұл объект таратылған параметрлі объект болады. Оның математикалық сипаттасында, кем дегенде, бір координата бойынша немесе барлық үш координата бойынша туындылары болады. Сондықтан математикалық сипаттамасыда, талдауыда күрделі .

7. Тура және кері есептер. Математикалық модель теңдеуінің жалпы түрі:

Y_i = F_i (X_i, U_i) , (1)

мұндағы Y_i – жүйенің қоршаған ортаға әсері, жүйе жұмысының нәтижелері, жүйе шығыстары; X_i – бақыланатын, бірақ реттелмейтін факторлар; U_i – бақыланатын және реттелетін кірістер. Шудың бағасы Z_i – бақыланбайтын факторлар жеке есепке бөлектенген. Ең дәл математикалық модель мына түрде болады:

Y_i = F_i (X_i, U_i, В_i ) , (2)

мұндағы В_i – параметрлер векторы. Бұл теңдеу модельге міндетті түрде параметрлердің кіретінін айқындайды. Мұндай түрдегі теңдеулермен байланысты есептердің негізгі екі сыныбы болуы мүмкін.

Бірінші сыныптың есебі былай қалыптасады: бізге бірілгені X_i, U_i, В_i. Бұл жағдайларда Y_i анықтау қажет. Бұл тура есеп. Мұндай тұжырыммен ол анық пішінде берілген функция есебіне келтіріледі.

Екінші сыныптың есебі: бізге берілгені Y_i, X_i, U_i және F_i функциясының жалпы түрі белгілі. В_i параметрлерін анықтау керек_. Бұл кері есеп.

Әдебиет: 5 нег. [9-125].

Бақылау сұрақтары: