8 Сурет – Ағынның аппараттар бойынша бөлінуінің сұлбасы

∑ белгісінің астында тұрған v₁ бойынша қосындының жеке туындысы нөлге тең, өйткені бұл қосындының бірде-бір мүшесі v₁ тәуелді емес. Онда:

∂ v₁ ² v_n ²

^------ ( --------- + ----------- ) = 0 (42)

∂ v₁ v₁ + a₁ v_n + a_n

Жақшадағы бірінші мүшені v₁ бойынша, ал екіншіні – v_n бойынша дифференциалдаймыз_, содан соң екінші мүшеге теңдеуді (39) қолданамыз:

2 v₁ ² + 2 a₁ v₁ - v₁ ² 2 v_n ² + 2 a_n v_n - v_n ²

-------------------------- - ------------------------ = 0 (43)

(v₁ + a₁)² (v_n + a_n)²

Алымдарындада осылай жүргіземіз, содан соң a_i² сәйкес мәндерін қосамыз және аламыз. Соңында аламыз:

(v₁ + a₁)² - a₁² (v_n + a_n)² - a_n²

^{----------------------------- = -----------------------------}

(v₁ + a₁)² (v_n + a_n)² (44)

Осыдан:

a₁² a_n²

----------- = -----------

(v₁ + a₁)² (v_n + a_n)² (45)

Түбір астын есептеп және екі бөлімніңде нөлге тең еместігін ескере отырып, кері шамаларды теңестіреміз:

v₁ + a₁ v_n + a_n

_{--------------- = ----------------}

a₁ a_n (46)

Ақырында аламыз:

v₁ v_n

_{-------- = ------------}

a₁ a_n (47)

Бірақ бірінші аппаратты таңдау еркінше жүргізілді, оның орынына кез-келгенін таңдауға болады. Біздің талдауымызды (n-1) рет қайталап, аламыз:

v₁ v₂ v_n

_{-------- = ------- = …… = -------}

a₁ a₂ a_n (48)

Оптималды бөліну кезінде әрбір аппарат арқылы өтетін шығын осы аппараттың өнімділігіне пропорционал. Қаншалықты a_i үлкен болса, соншалықты v_i көп болады_.

Теңдеуді жай түрлендіру береді:

v_i v_n

_{----------- = -------------} (49)

v_{i +} a_i v_n+ a_n

бұл келесі қатынасқа келтіреді:

c_A1=c_{A2 ….}= c_An (50)

Ағынды оптималды бөлу кезінде барлық аппараттардың шығысындағы концентрация бірдей. Шарт (50) ағынның таралуының оптималды реттелуін жүзеге асыруға мүмкіндік береді.

Әдебиет: 2 нег. [41-62], 1 қос., 2 қос. (сәйкес тараулары).

Бақылау сұрақтары:

1.Дифференциалдық есептеу әдісімен экстремумды іздеу әдісі қалай қорытындыланады?

2. Химиялық реакцияның оптималды температурасын есептеңіз.

3. Паралель жұмыс істейтін аппараттарда ағынның оптималды бөлінуін есептеңіз.

4. Экстремумды іздеу әдістерінің қандай үш негізгі топтарын білесіз?

5. Экстремум нүктесінде қандай шарттар сақталуы қажет?

Лекция № 14: Оптималдау әдістері. Екінші топ: сандық әдістер (артық жинау, сканирлеу, дихотомия)

2. Оптимумды сандық әдістермен іздеу.

Іздеудің сандық әдістерін экстремум нүктесінде туындылар болмаған кезде немесе функция теңдеумен емес, аргументтердің (факторлардың) берілген мәндеріндегі есептеу алгоритмімен берілген кезде қолданады. Ақырында, кейде жүйені (29) жазу және шешудің принципиалдық мүмкіндіктері бар, бірақ сәйкес есептеулер соншалықты көлемді болғандықтан сандық әдіс ыңғайлы болады.

Мейлінше қарапайым түрде сандық әдістер келесідей қорытындыланады: аргументтердің әртүрлі мәндері кезінде, F бірқатар мәндері есептеледі; бұл мәндерді салыстыру, оптимумға жақындау үшін факторлар кеңістігінде қандай бағытта қозғалу қажеттігін көрсетеді. Көп жағдайларда бұл әдістер оптимумның теориялық дәл мәндерін бермейді. Бірақ тәжірибе жүзінде оның қажетіде жоқ – бізге осы мәндерді берілетін дәлдікте білу жеткілікті.

а) Артық жинаумен оптималдау мүмкіндікті нұсқалардың саны түпкілікті болған кезде қолданылады. Онда барлық осы нұсқалар үшін мақсатты функцияны есептеу және ең үлкен (немесе ең кіші) мәндерді таңдау жеткілікті. Мысалы, біз барлық стандартталған мөлшерлердегі аппараттарда өтетін процестердің өту жағдайы үшін F есептеп және ең жақсы аппаратты таңдап ала аламыз.

Артық жинауды ДК жүзеге асыру өте жеңіл. Әдістің соншалықты қарапайымдылығына қарамастан, ол көбінесе ең тиімді болып саналады, өйткені машина үшін, адамға қарағанда, артық жинаудың мүмкіндігі шексіз жоғары. Артық жинауды қолдану, онсыз қол жеткізе алмайтын нұсқаларды табуға мүмкіндік береді.

б) Сканирлеу – артық жинауға жақын, бірақ үздіксіз функцияларға қолданбалы әдіс.

Мысал үшін бірөлшемді сканирлеуді қарастырамыз – функция максимумын бір фактордан іздеу жағдайында (минимумды іздеуде дәл солай жүзеге асырылады). Х факторының а-дан b-ға дейінгі өзгеру шектері берілген деп есептейік. Бұл жердегі а мен b – кез-келген нақты есепте орнықтыруға болатын шектеулер: кез-келген, ештеңемен шектелмеген Х мәнін бере аламыз ешуақытта бере алмаймыз.

Сонымен, біз алдымен келесі жағдайды біліп аламыз. Мақсатты функцияның экстремумын іздеп тапқымыз келетін интервал [a,b] бар делік, оны анықсыздық интервалы деп атайды. Жәнеде бізге экстремум нүктесін абсолютті дәл анықтау қажет емес. Анықсыздық интервалын барынша тарылту жеткілікті. Мысалы, егер біз мақсатты функцияның максимумына сәйкес оптималды температура 380 К-нен 381 К дейінгі шекте екенін білсек, онда үлкен дәлдіктің қажеті жоқ. Өнеркәсіптік жағдайларда 1 К –нен жоғары дәлдіктегі температураны реттеу мүмкін болмас. Бізді анықсыздық интервалы қанағаттандырады [380,381], оны ары қарай тарылтудың мәні болмайды.

Сонымен, бірөлшемді жағдайда экстремумды іздеу есебі анықсыздық интервалының тарылуына келтіріледі. Сканирлеу әдісімен бұл есеп келесідей шешіледі: тұтас сан q таңдаймыз – бұл есептелетін мақсатты функция мәнінің саны. ΔХ интервалын есептейміз:

b - a

ΔХ = --------

q -1 (51)

а нүктесінен b нүктесіне дейін ΔХ интервалдарын саламыз. Әрбір интервалдың аяғын түйін деп атаймыз. 9 суретте әрбір узел креспен белгіленген. Әрбір түйінде F(X) есептейміз. Енді біз алынған мәндердің ең максимумын қабылдай аламыз – суретте ол сол жағындағы 4-ші нүкте. Есептеу соңында анықсыздық интервалы δ, 2 ΔХ құрайды: нағыз максимум алынған ең жақсы нүктенің не оң жағында немесе сол жағында жатады. Сонымен:

2(b – a)

δ = -----------

q -1 (52)

Теңдеу (52) әдістің тиімділігін анықтайды. Сканирлеу кезінде жеткілікті аз δ үшін q шамасы үлкен болуы керек. Әдістің тиімділігі төмен. Дегенмен ол функцияның бастапқы зерттелуіне ыңғайлы, өйткені оның түрін бүкіл кесінді бойынша көрсету мүмкіндігін, экстремумдар санын орнықтыру және оларды жергілікті ету мүмкіндігін береді.

F

x x x x x x x x x X

a b