12 Сурет – Алтын қима әдісімен максимумды іздеу графигі.
Әдістің тиімділігі келесідей анықталады. Ғ алдыңғы екі есептеуінен соң және әрбір одан кейінгіден соң анықсыздықтың қалған интервалы алдыңғының 0,618 құрайды. Онда мақсатты функцияның q есептеуі кезінде
δ = (b-а)исх 0,618q-1 (56)
q>4 кезінде алтын қима әдісінің тиімділігі дихотомиия әдісіне қарағанда жоғары; q үлкен жағдайында, 10-20 шамасында, екі әдістіңде тиімділігі жақын, бірақ q>20 кезінде алтын қима бірқатар тиімдірек болады. Сонымен, егер оптимумның абсциссасын өте дәл белгілеу қажет болмаса, онда осы әдістердің кез-келгенін қолдануға болады. Егер жоғары дәлдік қажет болса (немесе әрбір есептеу күрделі болса), алтын қима әдісін қолданған дұрыс.
Көпөлшемді іздеу әдісін (Ғ – функция бір фактордан көп болған жағдай) қарапайым нұсқада қарастырайық, оптималдау шектеусіз өткен кезде. Шектеулер іздеу алгоритмінде едәуір күрделілік енгізеді, бірақ одан олардың маңыздылығы өзгермейді. Сиапттауды екі факторлық жағдаймен көрнекілейміз (бұл жағдайды графикте кескіндеуге болады). Максимумды іздеу қарастырылады.
д). Координаталық түсу. Бұл әдіс келесідей сипатталады. Іздеудің бастапқы нүктелерінің Х1н және Х2н координаталары таңдалады, яғни Х1 және Х2 біз оптимумды іздеуді бастайтын мәндері. Екі фактордыңда Н1 және Н2 бірыңғай үстелуі (қадамдары) таңдалады, сонымен қатар ε1 және ε2 факторларының аз үстелуі таңдалады. Осы барлық шамалардың таңдалуы есептің физикалық мәнімен және ол туралы алдын-ала біз білетін ақпаратпен анықталады.
Х2
x14 x10
x13•12 •16 •9 x11
х15 •8
•7
•1 •2 •3 •4 •5 х6
Х1
13 Сурет – Координатты түсу әдісімен оптималдау кезіндегі кеңістіктегі қозғалыс графигі: • - табысты қадамдар; х – сәтсіз қадамдар.
1 нүктедегі F (Х1н и Х2н) мәндері есептеледі (12 сурет). Ары қарай, Х2 шамасын өзгертпестен, Х1 осінің бойлығымен қозғала бастаймыз, әрбір қадамда осы факторға үстелу Н1 (немесе – Н1, бұл қозғалыс кезінде Ғ өсуі қай жаққа қарай байқалатынына байланысты). Әрбір қадамда – 2, 3, 4 және т.б. нүктелерде – Ғ есептелуі жүреді. Алдыңғыға қарағанда Ғ-ның мәні кем алынған қадамдарды сәтсіз қадамдар деп есептейміз; суретте олар креспен белгіленген. Бірінші сәтсіз қадамнан соң (6 нүкте) алдыңғы нүктеге қайта ораламыз (осы жағдайда – 5 нүктеге), Х1 мәнін белгілейміз және Х2 өзгертуді бастаймыз, ол үшін оған үстелу Н2 немесе -Н2 береміз (7, 8, 9, 10 нүктелер). Содан соң қайтадан Х1 осінің бойлығында қозғаламыз (11, 12, 13 нүктелер), қайтадан бағытты өзгертеміз (14, 15 нүктелері) және т.б. 13 суретте 12 нүктеден қозғалатын бағыт болмаған жағдай кескінделген: барлық қоршаған нүктелерде (9, 13, 14, 15) Ғ мәні берілгенге қарағанда кем. Бұл біздің максимумғм таялғанымызды білдіреді және 12 нүктедегі алдыңғы ірі қадамдар бізді одан өткізеді. Сондықтан қадамдарды кішірейтеміз (мысалыға екі есеге – 16 нүкте) және іздеуді кіші қадамдарда жалғастырамыз. Қадамның кішірейтілуі бірнеше рет қайталана алады. Дегенмен кішірейтілген қадамдар сәйкес ε1 және ε2 қарағанда аз болған кезде, максимум жеткілікті дәл белгіленді деп есептеуге болады және ең дұрыс нүктені оптимум ретінде қабылдап, есептеуді аяқтауға болады.
е) Градиент әдісі нұсқалардың үлкен санында болады. Ең қарапайым бірін қарастырып көрейік. Координатты түсу әдісіндегі сияқты, мұндада алдымен бастапқы нүктенің координаталарын Х1н және Х2н, қадамдарды Н1 және Н2 және аз устеулерді ε1 және ε2 таңдаймыз. Оптимумға бағытталған қозғалысты координатаның қандайда бір осі бойлығында емес, мақсатты функция градиенті бағытында бастаймыз (немесе, егер минимумды іздесек, онда қарама-қарсы градиент бағытында). Н1 және Н2 координаталардың бірыңғай үстелуі деп қабылданғандықтан, градиент теңдеуі келесі түрге енеді:
→ ∂ F → ∂ F →
grad F = ------ Н1 + ------ Н2 (57)
∂ Х1 ∂ Х2
Градиент бағытын есептеу үшін мақсатты функцияның факторлар бойынша жеке туындыларын білу қажет екені айқын. Туындыларды есептеу үшін есептеудің қосалқы сериясы жүргізіледі (14 сурет). Бастапқы нүкте 1 жанына екі қосалқы нүктелер 1′ , Х1 осі бойлығында ε1 ара қашықтығында және 1″ Х2 осі бойлығында ε2 ара қашықтығында салынады, және осыларда F есептеледі. Туындыларды келесі теңдеулермен табады:
∂ F F(Х1 + ε1, Х2 ) - F(Х1, Х2 )
---- = -------------------------------
∂ Х1 ε1
(58)
∂ F F(Х1 , Х2 + ε2 ) - F(Х1, Х2 )
---- = -------------------------------
∂ Х2 ε2
Содан соң Ғ келесі есептелуі үшін 2-ші нүктеге қадам жасалады.
Хi+1,j = Хi,j + Δ Хi,j (59)
∂ F
ΔХi,j=-----Нj (60)
∂ Хj
Мұндағы i – нүктелер саны; j – факторлар нөмірі. Ары қарай әртүрлі жүргізуге болады. Жаңа нүктенің i+1 туындыларын есептеуге болады, градиент бағытын табу, қадам жасау және т.б. Бірақ көбінесе басқаша жасайды. Егер қадам табысты болса, яғни F i+1 > F i (максимумды іздеу кезінде), онда теңдеуге (60) туындылардың бұрын табылған мәндерін қоя отырып, сол бағытта келесі қадамды жасайды.
Х2
•2
Δ Х2
1′ •
1 • •
1″
Х1
Δ Х1