Задания для самоконтроля.

Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Варианты практической работы

Вариант 1

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 3

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 4

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 5

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 6

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 7

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 8

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 9

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Вариант 10

1. Вычислите: .

2. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Указания к выполнению практической работы:

ПРИМЕР 1. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ. Применив основное тригонометрическое тождество: , получим:

,

,

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное уравнение имеет решения

.

Составим два простейших уравнения:

и .

Первое уравнение решений не имеет, так как . Второе уравнение имеет решение:

,

.

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Так как по формуле приведения , а по формуле двойного угла, то

.

При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на и получим:

,

откуда

.

Это уравнение является однородным относительно и . Разделив обе части полученного уравнения на , получим

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное квадратное уравнение имеет корни . Из уравнения получаем

,

.

Из уравнения получаем

.

Ответ:

ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

Запишем данное уравнение иначе:

.

По формуле разности косинусов получаем:

.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если , то ; если , то .

Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.

Ответ: .

ПРИМЕР 4. Решите уравнение: .

РЕШЕНИЕ.

В правой части применим формулу приведения

,

,

.

Применим формулу разности синусов , тогда

.

Вынесем за скобки общий множитель:

.

Если , то ; если , то , значит, .

Ответ: .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Варианты практической работы.

Вариант 1

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 2

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 3

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 4

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 5

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 6

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 7

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 8

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 9

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Вариант 10

Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .