3.5.1.2. Обобщение таблицы интегралов
Метод подстановки позволяет провести обобщение таблицы интегралов. Рассмотрим, например, интеграл от степенной функции,
∫xndx = |
xn+1 |
|
+C |
( n ≠ −1). |
n +1 |
||||
Выполнив постановку x = u(t) , где u(t) – |
некоторая дифференцируемая |
|||
функция, мы получаем новый интеграл
un+1
∫undu = n +1 +C ,
который внешне совпадает с исходным, но отличается от него по своей сути, поскольку символ u представляет собой функцию переменной t и поэтому du = u′dt . Таким образом, для любой дифференцируемой функции u(t) справедливо следующее обобщенное правило:
∫u |
n |
′ |
un+1(t) |
+C |
( n ≠ −1). |
|
(t)u (t)dt = |
n +1 |
|||
|
|
|
|
|
Подобным же образом можно интерпретировать каждый табличный интеграл, заменяя переменную интегрирования на любую дифференцируемую функцию:
∫eu( x)u′(x)dx = eu( x) +C , |
|
|
∫sin u(x)u′(x)dx = −cosu(x) +C , и т.д. |
||||||||
3.5.1.3. Примеры применения метода |
|||||||||||
Пример 1. Вычислить интеграл ∫ |
(arctg x) |
4 |
|
|
|
|
|||||
1 + x |
2 |
dx . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Подстановка z = arctg x влечет dz = |
|
dx |
и, следовательно, |
||||||||
1 + x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(arctg x)4 |
|
4 |
|
|
z5 |
|
|
|||
∫ |
|
|
2 |
dx = ∫z |
dz = |
|
|
+C . |
|||
1 |
+ x |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь нужно вернуться к исходной переменной, подставляя z = arctg x :
∫ |
(arctg x)4 |
dx = |
(arctg x)5 |
+C . |
|
1 + x2 |
5 |
||||
|
|
||||
Пример 2. |
|
|
|
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
= ∫dz |
(arctg x)(1 + x |
2 |
) |
|
|
||
|
|
|
z=arctg x |
z |
||
|
|
|
|
|
|
= ln | z | +C = ln | arctg x | +C. |
43
Пример 3.
∫e(arctg x) |
dx |
|
|
= ∫ezdz =ez +C = earctg x +C . |
|
2 |
|||
1 + x |
|
|
z=arctg x |
|
|
|
|||
Легко убедиться в правильности полученных результатов. Для этого нужно продифференцировать первообразные и сравнить их с подынтегральными функциями. Проверим, например, справедливость последнего результата:
earctg x (earctg x )′= earctg x (arctg x)′= 1 + x2 .
Проверили и убедились: все нормально.
Пример 4. Интегралы ∫sin(ln x) dx |
и ∫ |
x |
dx |
легко приводится к |
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
1 −(ln x)2 |
|
|
табличному виду с помощью подстановки |
u = ln x : |
|
|||||||
|
∫ |
sin(ln x) |
dx = ∫sin udu = −cos u +C = −cos(ln x) +C , |
||||||
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x |
dx |
= ∫ |
du |
= arcsin u +C = arcsin(ln x) +C . |
||||
|
1−(ln x)2 |
|
1−u2 |
|
|
|
|
||
Примеры 5-9. Нижеприведенные интегралы внешне не очень похожи друг на друга. Однако каждый из них легко приводится к одному и тому же табличному виду
∫cosdu2 u = tg u +C
спомощью подходящей замены переменной.
Выражения под знаком косинуса более чем прозрачно намекают на вид подстановки u = u(x) , решающей проблему интегрирования в каждом
конкретном случае. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 tg (3x −4) +C |
|||||||
cos |
2 |
(3x −4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
6) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= 2tg ( x ) +C |
||||||
x cos |
2 |
( |
x ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
∫ |
dx |
|
|
= 1 tg ( x5 ) +C |
||||||||||||
cos |
2 |
5 |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
( x |
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
8) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= tg (ln x) +C |
|||||||
|
x cos |
2 |
(ln x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9) |
∫ |
|
exdx |
|
|
|
= tg e |
x |
+C |
||||||||
|
cos |
2 |
(e |
x |
) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( u = 3x −4 , du = 3dx ).
( u = x , du = 2dxx ). ( u = x5 , du = 5x4dx ).
( u = ln x , du = dxx ).
( u = ex , du = exdx ).
44