5.2. Признаки сходимости

Существуют различные способы исследования несобственных интегралов на сходимость, к простейшим из которых относятся признаки сравнения.

может быть неограниченной в окрестности любой из точек, a или b .

На практике применение этого признака сводится к простой процедуре: исследуемый на сходимость интеграл сравнивается с одним из эталонных. Если эталонный интеграл больше исследуемого и сходится, то сходится и исследуемый. Если же эталонный интеграл меньше исследуемого и расходится, то расходится и исследуемый.

∞

Необходимым условием сходимости интегралов вида ∫ f ( x)dx является

a

стремление к нулю функции f ( x) при x →∞. В противном случае интеграл расходится. Однако это условие не является достаточным для сходимости

Существует другой признак сравнения, в основе которого лежит сопоставление быстроты изменения функций в окрестности соответствующей точки (в том числе и бесконечно удаленной).

Признак сравнения 2

Пусть выполняется одно из условий – или функции f ( x) и g( x) являются неограниченными в окрестности точки b, или b = ∞.

сходятся или расходятся одновременно.

111

Признак сравнения остается в силе, если источником “несобственности” интеграла является точка a. Единственное, что нужно сделать в этом случае это заменить в формулировке точку b на точку a.

+∞

С геометрической точки зрения сходимость интеграла вида ∫ f ( x)dx

a

означает, что площадь области, заключенной между кривой y = f ( x) и осью абсцисс, конечна. При этом поведение функции y = f ( x) при не очень

больших значениях x является несущественным, а определяющее значение для сходимости интеграла имеет лишь быстрота приближения кривой к оси 0x при x →∞.

Рис. 1

С этих позиций Признак сравнения 2 выглядит вполне очевидным.

некоторого достаточно большого значения x) выполняется приближенное равенство f ( x) ≈λ g( x) . Тогда и площади соответствующих областей

отличаются друг от друга в конечное число раз λ ; если одна из них конечна, то конечна и другая.

a

утверждение уже не справедливо – сходимость интеграла от f ( x) не влечет за собой никаких последствий относительно интеграла от g( x) .

112

функций, неограниченных в окрестности точки a (или b): интеграл

сходимости интеграла является поведение функции y = f ( x) в достаточно малой окрестности точки разрыва, а именно быстрота приближения кривой к оси 0 y при x →a (или при x → b , если b является точкой разрыва).

Рис. 2

Таблица 1.

113

5.2.1.Эталонные интегралы

исследования на сходимость интегралов от неограниченных функций (в окрестности точки a или точки b, соответственно).

В этом случае интегралы

Докажем это утверждение непосредственным интегрированием. Рассмотрим, например, первый интеграл.

Пусть p ≠1 . Тогда

подстановке нижнего предела интегрирования в знаменателе возникает 0. Это и означает, что при p >1 интеграл расходится.

Интеграл также расходится при p =1 , поскольку

114