3.7.Интегрирование тригонометрических выражений

3.7.1.Интегралы вида ∫sinm x cosn x dx

1.Предположим, что оба показателя степени m и n – четные числа, m = 2k и n = 2l , где k и l – неотрицательные целые числа.

Тогда для понижения степеней синуса и косинуса можно воспользоваться тригонометрическими тождествами

2 cos2 x =1 +cos 2x , 2 sin2 x =1 −cos 2x ,

2sin x cos x = sin 2x .

Действительно,

∫sin2k x cos2l xdx = ∫(sin2 x)k (cos2 x)l dx

= 14 ∫(1−cos 2x)k (1 +cos 2x)l dx.

Если раскрыть скобки, то мы получим сумму более простых интегралов, часть из которых – табличные, а другие могут быть упрощены повторным понижением степеней.

2. Предположим, что n – нечетное число, n = 2k +1. Тогда для любого числа m ,

∫sinm x cos2k +1 xdx = ∫sinm x cos2k x cos xdx

= ∫sinm x(1 −sin2 x)k cos xdx.

Используя подстановку t =sin x ( dt = cos xdx ), получаем элементарно вычисляемый интеграл:

∫sinm x cos2k +1 xdx = ∫tm (1 −t2 )k dt .

Если m – нечетное число, то нужно применить подстановку t =cosx:

∫sin2k +1 x cosn xdx = ∫(1−cos2 x)k cosn x sin xdt = −∫(1−t2 )k tndt .

Примеры:

•∫cos2 xdx = 12 ∫(1 +cos 2x)dx = 12 (x + 12 sin 2x) +C .

•∫sin2 x cos3 xdx = ∫sin2 x(1 −sin2 x) cos x dx sin x=t

=∫t2 (1 −t2 )dt = ∫(t2 −t4 )dt

=13 t3 − 15 t5 +C = 13 sin3 x − 15 sin5 x +C.

73

проблема интегрирования тригонометрических функций сводится к проблеме интегрирования рационального выражения:

2. Предположим, что n – четное число, n = 2k .

Тогда для понижения степени синуса можно воспользоваться тригонометрическим тождеством

74

75

3.7.3. Интегралы вида ∫tgn x dx , ∫ctgn x dx

При n =1 и n = 2 интегралы берутся элементарно, например,

Если n = 2, 3,K, то нужно предварительно понизить степень, используя тригонометрическое тождество

Проблема интегрирования tgn x сведена к проблеме интегрирования tgn−2 x . Повторным применением формулы (46) можно понизить степень тангенса до 1 или 2.

Аналогично,

Вчастности,

∫ctg3 xdx = −ctg22 x − ∫ctgx dx

=−ctg2 x − ∫cos x dx +C = −ctg2 x −ln | sin x | +C, 2 sin x 2

∫tg4 xdx = 13 tg3 x − ∫tg2 xdx

=13 tg3 x −(tg x − x) +C = 13 tg3 x − tg x + x +C.

76

3.7.4.Интегралы вида

∫sin ax cosbxdx , ∫sin axsinbxdx , ∫cosax cosbxdx

Интегралы такого типа легко вычисляются с помощью тригонометрических тождеств

Примеры.

•∫sin 2x cos xdx =12 ∫(sin 3x +sin x)dx = −16 cos3x − 12 cos x +C .

•∫sin5xsin 3xdx =12 ∫(cos 2x −cos8x)dx = 14 sin 2x −161 sin8x +C .

•∫cos 4x cos 2xdx = 12 ∫(cos 2x +cos6x)dx = 14 sin 2x +121 sin 6x +C .

Иногда для преобразования подынтегральной функции нужно повторно воспользоваться тождествами (48) – (50). Так, чтобы вычислить интеграл

∫sin 2x cos3x cos4xdx ,

нужно преобразовать произведение синусов и косинусов в их аддитивную комбинацию.

Преобразуем произведение косинусов с помощью тождества (50): cos3x cos4x = 12 (cos x +cos7x) .

Затем воспользуемся тождеством (48):

sin 2x cos3x cos 4x = 12 sin 2x(cos x +cos7x)

=12 (sin 2x cos x +sin 2x cos7x)

=14 (sin x +sin 3x +sin(−5x) +sin 9x).

Проинтегрируем каждое слагаемое:

∫sin 2x cos3x cos 4xdx = 14 ∫(sin x +sin 3x −sin 5x +sin 9x)dx

=− 14 cos x −121 cos3x + 201 cos5x − 361 cos9x +C.

77