3.6.4. Примеры и упражнения

9x2 +1

=

A

+

B

+

C

.

x(x −3)(x +3)

x

x −3

x +3

x = 0

1 = −9A

A = −1 9 ;

x = 3

82 =18B

B = 41 9 ,

x = −3

82 =18c

C = 41 9 .

6) Записываем искомое разложение дроби

9x2

+1

:

x3 −9x

9x2 +

1

=

1

(−

1

+

41

+

41

) .

x3 −

9x

9

x

x

−3

x + 3

7)

Записываем подынтегральную функцию в виде:

x

4 +1

= x +

9x2 +1

= x +

1

(−

1

+

41

+

41

) .

x3

−9x

x3 −9x

9

x

x

−

3

x + 3

8)

Используем свойства интегралов и таблицу интегралов:

∫

x4 +1

dx

= ∫( x −

1

+

41

+

41

)dx

x

3

−

9x

9x

9(x

− 3)

9(x + 3)

= ∫xdx −

1

∫dx

+ 41

(∫

dx

+ ∫

dx

)

9

x −

3

x +

3

x

9

=

x2

−

1

ln | x | +

41

(ln | x

− 3 | +ln | x + 3 |) +C

2

9

9

=

x2

−

1

ln | x | +

41

ln | x

2

−9 | +C.

2

9

9

9)

Проверяем результат дифференцированием:

x2

1

41

2

′

1

82x

( 2 − 9 ln | x | +

9 ln | x −9 |)

= x − 9x + 9( x2 −9)

=

9x2

(x2 −9) −( x2 −9) +82x

2

9x4 +9

x

4 +1

,

=

=

9x(x2 −9)

9x( x2

−9)

x3

−9x

что завершает решение задачи.

Пример 2. Вычислить интеграл ∫

xdx

.

x

2

+2x −

3

Решение.

1)

Разлагаем знаменатель рационального выражения на множители:

x

=

x

.

x2 +2x −3

( x −1)( x +3)

3)

Представляем дробь

x

в виде суммы простых дробей:

(x −1)( x +3)

x

=

( x +3) +3(x −1)

= 1

(

1

+

3

) .

(x −1)( x +3)

4(x −1)( x +3)

x

−1

x +3

4

1

(ln

x −1

+3ln

x +3

=

1

(

1

+

3

)

4

4

x −1

x +3

=

1

x +3 +3x −3

4

( x −1)( x +3)

=

x

.

( x −1)( x +3)

Решение.

1)

Выделяем полный квадрат в знаменателе рационального выражения:

x2 +2x +5 = ( x +1)2 +4 .

2)

Делаем подстановку x +1 = t

x = t −1,

dx = dt ,

∫

(x −1)dx

=

∫

(t −2)dt

.

(x

2

+2x +5)

2

(t

2

+

4)

2

3)

Представляем результат в виде разности двух интегралов:

∫

(t −2)dt

= ∫

tdt

−2∫

dt

.

(t

2

+4)

2

(t

2

+4)

2

(t

2

+

4)

2

4)

Первый из полученных интегралов вычисляем с помощью подстановки

z = t2 +4 , которая влечет tdt =

1 dz и, следовательно,

2

∫

tdt

=

1

∫dz2

= −

1

= −

1

.

(t

2

2

2

2z

3

2(t

2

+

4)

3

+4)

z

5)

Оставшийся интеграл ∫

dt

вычисляем по формуле (37), полученной

(t

2

2

+4)

с помощью рекуррентных соотношений (36):

∫

dt

=

1

(

1 arctg

t

+

t

) .

(t

2

4)

2

8

2

t

2

+4

+

2

Таким образом,

∫

(x −1)dx

= −

1

−

1

arctg

t

−

1

t

)

+C

( x

2

+2x +5)

2

2(t

2

+4)

3

8

2

4 t

2

+4

t=x+1

t +2

1 arctg

t

= −

−

+C

4(t2 +4)

8

2

t=x+1

= −

x +3

−

1 arctg

x +1

+C.

4( x2 +2x +5)

8

2

10)

1

;

11)

1

;

4x2 −9

x2

− x −6

12)

5x −1

;

13)

x2

;

x(x2 − x −6)

x2

− x −6

14)

1

;

15)

x

;

(x −3)( x2 + 4)

(x −3)2 (x2 + 4)

16)

x +3

;

17)

x +3

;

x2

−4x +8

x2 −4x +4

18)

x +3

;

19)

x +3

.

(x2 −4x +8)2

x2

−4x +3