5.3. Примеры исследования интегралов на сходимость

+∞

dx2

1

∞

∫

= −

=1

является конечным числом.

1

x

x

1

+∞

ln xdx

Пример 2.

Интеграл

∫

расходится, поскольку расходится интеграл

1

x

+∞

dx

и ln x > 1 при

∫

x → +∞.

1

x

x

x

lim

ln x x3

= lim

ln x

=

lim

1

= 0 .

1 x2

x

x→+∞

x →+∞

x→+∞ x

+∞

x

+∞

x

1

+∞

dx

∫

4

dx < ∫

4

dx =

∫

.

+5

2x

2

x

7 2

1 2x

1

1

Поскольку p >1, то интеграл сходится.

5

dx

Пример 4.

Исследовать на сходимость ∫

.

x(x

2

−4)

1

2

Решение.

Функция

является

неограниченной в

окрестности

x( x2 −4)

точкиx = 2 . Поэтому

для

сравнения

выберем

расходящийся

p -интеграл

5

dx

∫

.

x −2

2

lim

x − 2

= lim

1

=

1 .

x( x2 − 4)

x(x + 2)

x→2

x→2

8

+∞

1

1

Комментарии. Заметим, что

∫ (

−

)dx нельзя представить в виде

x −1

x +1

2

+∞

+∞

dx

dx

разности двух расходящихся

интегралов

∫

и ∫

– именно по

x −1

x +

1

2

2

+∞

1

1

,

если k < 0

∫e

kx

dx =

e

kx

+∞

k

0

= k

0

если k > 0

∞,

∞

∞

Поскольку интеграл ∫e−xdx сходится, то сходится и интеграл ∫e−x 2 dx .

0

0

∞

dx

∞

dx

1)

∫

;

2)

∫

;

1

3 x4 +5

1 x2 + 3 x4

+5

∞

dx

∞

xdx

3)

∫

x +

3

x

4

;

4)

∫

x

5

+

;

1

+5

0

3

+∞

+∞

5)

∫xe−x dx ;

6)

∫x20 e−x 10 dx ;

0

0

1

1

7)

∫3 dx

4

;

8)

∫3

dx

2

0

1 − x

0

1 − x

e

dx

+∞

9)

∫

;

10)

∫sin xdx .

ln x

1

1

∞

dx

∞ dx

11)

∫

12)

∫

x

2

2 x +5

1

∞

dx

∞

dx

13)

∫

14)

∫

2

+1

2

+4x +5

−∞ x

−∞ x

1 2

dx

1 2

dx

15)

∫

16)

∫

x ln x

x ln

2

x

0

0

0

x

+∞

dx

17)

∫e

dx

18)

∫

x

2

−9

−∞

4

1

1

dx

19)

∫dx

20)

∫

−2

x

0

x

1

dx

3

dx

21)

∫

22)

∫

2

2

0

1 − x

0

( x −1)

∞

dx

∞

Пример. Интеграл ∫

расходится, так как расходится интеграл ∫dx

, и

x +

5

2

2

x

1

1

при x →∞ подынтегральные функции

и

являются эквивалентными

x +5

x

бесконечно малыми.

∞

dx

2∞ = ln ∞ = ∞.

Другое решение. ∫

= ln(x +5)

x +5

2

Гиперболический синус:

sh x =

ex −e−x

2

.

Гиперболический косинус:

ch x =

ex +e−x

2

.

ex −e−x

Гиперболический тангенс:

th x =

sh x

=

.

ch x

ex +e−x

ex +e−x

Гиперболический котангенс:

cth x =

1

=

ch x

=

.

th x

sh x

ex −e−x

sh 2α = 2shα chα

ch 2α = ch2α + sh2α

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2 α −sin2 α

2sh

2 α

= chα −1

2ch

2 α

= 1 + chα

2

2

2 sin

2 α

=1 − cosα

2 cos2 α

= 1 + cosα

2

2

2

2

1 − th2 x =

1

,

cth2 x −1 =

1

ch2 x

sh2 x

ch α −sh α =1

cos2 α + sin2 α =1

2

1

2

1

1 + tg

x =

,

ctg

x +1 =

cos2 x

sin2 x

shα ±shβ = 2sh

α ± β ch

α mβ

2

2

sinα ±sin β = 2 sin

α ± β cos α mβ

2

2

chα +chβ = 2ch

α + β ch

α − β

2

2

cosα +cos β = 2 cos

α + β cos α − β

2

2