Существуют, однако, и такие функции, которые не имеют пределов в некоторых точках.

Повторные пределы не совпадают друг с другом. Следовательно, функция

f (x) = x2 − y2 не имеет предела в точке (0,0) . x2 + y2

Уместно напомнить, что и в случае функции одной переменной необходимым и достаточным условием существования предела является равенство между собой левостороннего и правостороннего пределов. В этом смысле вышеприведенный пример не содержит каких-либо принципиально новых

моментов. Единственным отличием является то обстоятельство, что в случае функции нескольких переменных существует не два, а бесконечное число способов приближения к предельной точке.

2.3. Непрерывность

Понятие непрерывности функции не нуждается в каких-либо модификациях при переходе от одной переменной к нескольким.

Функция f (P) называется непрерывной в точке P0 , если

lim f (P) = f (P0 ) .

P→P0

Функция f (P) называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множестве. Если же в какой-то точке непрерывность нарушается, то говорят, что функция имеет разрыв в этой точке, а сама точка при этом называется точкой разрыва.

Точки разрыва могут образовывать линии разрыва, а также поверхности разрыва.

21

Примеры:

•Функция z = tg xy не определена на кривых xy = (2k +1)π2 , где k – любое целое число. Эти кривые представляют собой гиперболы и являются линиями разрыва.

Все свойства непрерывности функций сохраняются при переходе от одной переменной к любому их числу.

Как сумма, так и произведение любого конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.

Частное от деления непрерывных функций есть непрерывная функция (при условии, что знаменатель отличен от нуля).

Любая элементарная функция являются непрерывной в области своего определения.

Частные производные функции нескольких переменных определяются аналогичным образом.

Из соображений удобства рассмотрим функцию двух независимых переменных.

Используются и более короткие обозначения для частных производных:

22

Частные производные обладают теми же свойствами, что и обычные производные. Все правила дифференцирования так же остаются неизменными. Следует только иметь в виду, что при вычислении частной производной по какой либо из переменных все остальные переменные фиксируются и рассматриваются как константы.

Пример. Найти частные производные функции f (x, y) по переменным x и y , если

f (x, y) = x2 y3 +5sin x −e y .

Решение.

Частные производные высших порядков вводятся таким же образом, что и обычные производные высших порядков:

Другие обозначения частных производных высших порядков:

производными.

Существует теорема, согласно которой смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования при условии, что частные производные являются непрерывными функциями. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело с функциями, удовлетворяющими этому условию. В этом случае нет необходимости следить за порядком дифференцирования:

u′xy′ = u′yx′ ,

23

2.5. Полные дифференциалы

Рассмотрим, для начала, дифференциал функции u = f (x, y) двух

независимых переменных.

Дифференциалами независимых переменных называются приращения аргументов:

dx = x , dy = y .

Полный дифференциал функции u = f (x, y) определяется соотношением

Обобщение на общий случай функции n независимых переменных вполне очевидно:

Свойства дифференциалов не зависят от числа аргументов функций: d (cu) = cdu

d (u ± v) = du ± dv , d(u v) = udv +vdu ,

u = udv −vdu d ( v ) v2 .

Теорема о полном дифференциале: Пусть функции A(x, y) и B(x, y)

имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда выражение вида

A(x, y)dx + B(x, y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции u = f (x, y) , если