5.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5.1.Основные понятия
Кнесобственным интегралам относятся:
1)интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен бесконечности;
2)интегралы от неограниченных функций (на промежутке интегрирования).
Примеры несобственных интегралов:
+∞ |
b |
+∞ |
1 |
dx |
|
2 |
dx |
|
5 |
dx |
|
|
∫ f (x)dx , |
∫ f (x)dx , |
∫ f (x)dx , |
∫ |
, |
∫ |
, |
∫ |
|
. |
|||
x |
2 − x |
(x −3) |
2 |
|||||||||
a |
−∞ |
−∞ |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
Несобственные интегралы можно выразить через обычные определенные интегралы, используя предельный переход. В частности,
+∞ |
c |
|
∫ f (x)dx = clim→+∞ ∫ f (x)dx , |
(1) |
|
a |
a |
|
b |
b |
|
∫ f ( x)dx = clim→−∞ ∫ f ( x)dx . |
(2) |
|
−∞ |
c |
|
Аналогичным образом можно выразить интегралы от неограниченных
функций. Пусть, например, |
f ( x) → ∞ при x →a . Тогда |
|
|
b |
|
b |
|
∫ f ( x)dx = clim→a |
∫ f (x)dx . |
(3) |
|
a |
|
c |
|
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.
Примеры сходящихся интегралов:
|
∞ |
|
|
c |
|
|
1 ) |
|
|
c |
|
|
|
|
1) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
• |
|
∫dx2 |
= lim |
∫dx2 = lim (− |
|
|
|
= lim (1 − |
|
|
||||||||
|
|
1 |
x |
c→∞ |
1 x |
c→∞ |
x |
|
1 |
c→∞ |
|
|
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||
|
+∞ |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 lim (1 |
|
1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |
∫e−5xdx = lim |
∫e−5xdx = lim (−1 e−5x ) |
|
= |
−e−5c ) = |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
c→+∞ |
0 |
c→+∞ |
5 |
|
0 |
|
5 c→+∞ |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
dx |
= 2 x 10 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры расходящихся интегралов: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
|
∫dx |
= lim |
∫dx = lim ln | c| |
|
|
= lim ln | c |= ∞. |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
x |
c→∞ |
1 |
x |
c→∞ |
|
|
|
1 |
c→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• |
|
∫ |
cos xdx = lim |
cos xdx = lim sin x |
|
|
= lim sin c – не существует. |
|||||||||||
|
|
|
|
c→∞ ∫ |
|
c→∞ |
0 |
|
c→∞ |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
110