Плоскость и прямая в пространстве

1. Общее уравнение плоскости.

Уравнение вида

Ах + Ву + Сz + D = 0  (7.1)

называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов А, В и С в уравнении (7.1): они являются координатами вектора нормали n к этой плоскости, т.е. вектора перпендикулярного данной плоскости.

2. Уравнение плоскости в отрезках.

(7.2)

Заметим, что числа a, b и c имеют простой геометрический смысл: они равны алгебраическим величинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ох, Оу и Оz, соответственно (см. рис. 7.1).

Рис. 7.1

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть , и – три различные точки, не лежащие на одной прямой. Известно, что через три точки всегда можно провести плоскость, и она будет единственной, если точки не лежат на одной прямой.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:

(7.3)

4. Уравнение плоскости, параллельной данному вектору и проходящей через две данные точки.

Пусть дан вектор а(т, п, l) и две различные точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти две точки и параллельной вектору а, запишется в виде:

(7.4)

5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.

Пусть даны два вектора а и а и точка . Если векторы а и а не коллинеарны, то через точку можно провести единственную плоскость, параллельную векторам а и а .

Уравнение плоскости, параллельной векторам а и а и проходящей через данную точку имеет вид:

(7.5)

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору п(А, В, С):

(7.6)

7. Нормальное уравнение плоскости.

Рассмотрим произвольную плоскость. Проведем из начала координат прямую, перпендикулярную данной плоскости. Направляющие косинусы этого перпендикуляра: cos, сos, cos. Обозначим р – расстояние от начала координат до рассматриваемой плоскости. Тогда нормальное уравнение плоскости запишется в виде:

x cos  + y cos  + cos  – p = 0  (7.7)

Для того, чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду, необходимо умножить все уравнение на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.

8. Расстояние от точки М(х, у, z) до плоскости, заданной общим уравнением:

(7.8)

9. Общие уравнения прямой.

Прямую можно определить как линию пересечения двух плоскостей. Это и будут общие уравнения прямой:

(7.9)

причем плоскости не параллельны, и не совпадают, т.е. хотя бы одно из равенств в соотношении не должно выполняться.